Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Учитель: Копеина
Наталья Васильевна
10 класс
МОУ «Киришский лицей»
2 слайд
Содержание.
Вводная часть, повторение теоретического материала.
Решение тригонометрических уравнений.
Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.
3 слайд
ЦЕЛЬ:
Повторить решение тригонометрических
уравнений.
1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений.
3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.
Выделение основных проблем при решении
этих уравнений:
Потеря корней.
Посторонние корни.
Отбор корней.
4 слайд
Устная работа.
Решите уравнения
А) 3 х – 5 = 7
Б) х2 – 8 х + 15 = 0
В) 4 х2 – 4 х + 1= 0
Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0
Д) 3 х2 – 12 = 0
Ответы
4
3; 5
0,5
-2; -1; 1; 2
-2; 2
5 слайд
Устная работа
Упростите выражения
А) (sin a – 1) (sin a + 1)
Б) sin2 a – 1 + cos2 a
В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a
Г)
Ответы
- cos2 a
0
2
|1- tg х|
6 слайд
Повторим значения синуса и косинуса
у π/2 90°
1
120° 2π/3 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°
150° 5π/6 1/2 π/6 30°
180° π -1 0 1 0 0° x
-1/2 ½ 2π 360 (cost)
210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]
-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)
7 слайд
Арккосинус
у
х
π/2
0
π
1
-1
-а
а
arccos а = t
arccos(-а)
Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
arccos(- а) = π- arccos а
Примеры:
1)arccos(-1)
= π
2)arccos( )
8 слайд
Арксинус
Примеры:
у
х
π/2
-π/2
-1
1
а
arcsin а =t
- а
arcsin(- а)= - arcsin а
arcsin(- а)
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.
9 слайд
Арктангенс
у
π/2
-π/2
х
0
а
arctgа = t
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
arctg(-а) = - arctg а
-а
arctg(-а )
Примеры:
1) arctg√3/3 =
π/6
2) arctg(-1) =
-π/4
10 слайд
Арккотангенс
у
х
0
π
а
arcctg а = t
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
arcctg(- а) = π – arcctg а
- а
arcctg(- а)
1) arcctg(-1) =
Примеры:
3π/4
2) arcctg√3 =
π/6
11 слайд
Повторение
1 вариант
sin (-π/3)
cos 2π/3
tg π/6
ctg π/4
cos (-π/6)
sin 3π/4
arcsin √2/2
arccos 1
arcsin (- 1/2 )
arccos (- √3/2)
arctg √3
2 вариант
cos (-π/4 )
sin π/3
ctg π/6
tg π/4
sin (-π/6)
cos 5π/6
arccos √2/2
arcsin 1
arccos (- 1/2)
arcsin (- √3/2)
arctg √3/3
12 слайд
Повторение
Ответы 1 вариант
- √3/2
- 1/2
√3/3
1
√3/2
√2/2
π/4
0
- π/6
5π/6
π/3
Ответы 2 вариант
√2/2
√3/2
√3
1
- 1/2
- √3/2
π/4
π/2
2π/3
- π/3
π/6
13 слайд
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
1.cost = а , где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
1) cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
2) cost=1
t = 2πk‚ kЄZ
3) cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
14 слайд
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
2. sint = а, где | а |≤ 1
или
Частные случаи
1) sint=0
t = πk‚ kЄZ
2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
15 слайд
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ k ЄZ
4. ctgt = а, а ЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
16 слайд
При каких значениях х имеет смысл выражение:
1.arcsin(2x+1)
2.arccos(5-2x)
3.arccos(x²-1)
4.arcsin(4x²-3x)
1) -1≤ 2х+1 ≤1
-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ: [-1;0]
2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]
-1≤ х²-1 ≤ 1
0 ≤ х² ≤2
Ответ:
-1≤4х²-3х≤1
4х²-3х ≥ -1
4х²-3х ≤ 1
4х²-3х-1 ≤ 0
Ответ:
17 слайд
Примеры:
cost= - ;
2) sint = 0;
3) tgt = 1;
4) ctgt = -
t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ± + 2πk, kЄZ
Частный случай:
t = πk, kЄZ
t = arctg1+πk, kЄZ
t = + πk, kЄZ.
t = arcctg( ) + πk, kЄZ
t = + πk, kЄZ.
18 слайд
Решение простейших уравнений
tg2x = -1
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
2) cos(x+π/3) = ½
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.
19 слайд
Виды тригонометрических уравнений
1.Сводимые к квадратным
Решаются методом введения новой переменной
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.
20 слайд
2.Однородные
1)Первой степени:
Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной.
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx). Получим: простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m
Виды тригонометрических уравнений
Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.
Решение: Разделим обе части уравнения на cosx.
Получим
Ответ:
21 слайд
2) Однородные уравнения второй степени:
Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной.
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.
Виды тригонометрических уравнений
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tg2 x + 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда
1) tg x = –1, 2) tg x = –3,
Ответ:
22 слайд
Виды тригонометрических уравнений
3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C. А, В, С 0
sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения
влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
23 слайд
Виды тригонометрических уравнений
4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.
А sinx + B cosx = C
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уровнения.
Проверка
Если ,
- не верно, значит
, не является корнями исходного уравнения
Ответ:
24 слайд
Формулы.
a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где
sin =
cos =
- вспомогательный аргумент.
Универсальная подстановка.
х + 2n; Проверка обязательна!
Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2
Метод вспомогательного аргумента.
25 слайд
Правила.
Увидел квадрат – понижай степень.
Увидел произведение – делай сумму.
Увидел сумму – делай произведение.
26 слайд
1.Потеря корней:
делим на g(х).
опасные формулы (универсальная подстановка).
Этими операциями мы сужаем область определения.
2. Лишние корни:
возводим в четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).
Этими операциями мы расширяем область определения.
Потеря корней, лишние корни.
27 слайд
Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам
Вариант 1.
На «3»
3 sin x+ 5 cos x = 0
5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0
На «4»
3 cos2х + 2 sin х cos х =0
5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1
На «5»
2 sin x - 5 cos x = 3
1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0
Вариант 2.
На «3»
cos x+ 3 sin x = 0
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
На «4»
2 sin2 x – sin x cosx =0
4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
На «5»
2 sin x - 3 cos x = 4
2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0
28 слайд
Спасибо
За
внимание!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 660 072 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ковдий Анна Валентиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.