Инфоурок Другое ПрезентацииОбъёмы тел Изображения пространственных фигур Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мы

Объёмы тел Изображения пространственных фигур Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мы

Скачать материал
Скачать материал "Объёмы тел Изображения пространственных фигур Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мы"

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Ученый секретарь

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд

  • 
Объёмы тел
Изображения пространственных фигурСТЕРЕОМЕТРИЯ

    2 слайд


    Объёмы тел
    Изображения пространственных фигур
    СТЕРЕОМЕТРИЯ

  • Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логико...

    3 слайд

    Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии
    «Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).
    В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с
    необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение
    пространственных фигур.
    Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул.
    Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется
    стереометрией

  • ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей;
ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей...

    4 слайд

    ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей;
    ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества;
    ГЕОМЕТРИЯ нужна

    технику,
    инженеру,
    рабочему,
    архитектору,
    модельеру …
    Мы знаем, что

  • ПЛАНИМЕТРИЯСТЕРЕОМЕТРИЯГЕОМЕТРИЯ на плоскостиГЕОМЕТРИЯ в пространстве«планиме...

    5 слайд

    ПЛАНИМЕТРИЯ
    СТЕРЕОМЕТРИЯ
    ГЕОМЕТРИЯ на плоскости
    ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
    «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo  – измерять
    и лат. planum – плоская поверхность (плоскость)
    «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем).
    ГЕОМЕТРИЯ

  • Основные понятия стереометрии точка,
прямая,
плоскость,
расстояниеАТМm = (РК...

    6 слайд

    Основные понятия стереометрии
    точка,
    прямая,
    плоскость,
    расстояние
    А
    Т
    М
    m
     = (РКС)
    |PK|
    A , KC   , P   , |PK| = 2 см
    Р
    К
    С

  • Аксиомы стереометрииСлово «аксиома» греческого происхождения и в переводе озн...

    7 слайд

    Аксиомы стереометрии
    Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории.
    Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений:
    их описание и свойства содержатся в аксиомах
    Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

  • Аксиомы стереометрииА-1РКС = (РКС)Через любые три точки, не лежащие на одно...

    8 слайд

    Аксиомы стереометрии
    А-1
    Р
    К
    С

     = (РКС)
    Через любые три точки, не лежащие на одной прямой
    проходит плоскость, и притом только одна

  • Аксиомы стереометрииА-2СМm М, C  m  М, C  m,ЕслитоЕсли две точки прямой...

    9 слайд

    Аксиомы стереометрии
    А-2

    С
    М
    m
    М, C  
    m  
    М, C  m,
    Если
    то
    Если две точки прямой лежат в плоскости,
    то все точки прямой лежат в этой плоскости

  • Аксиомы стереометрииА-3МmМ  , М  , М  mm  , m     = mЕсли две п...

    10 слайд

    Аксиомы стереометрии
    А-3


    М
    m
    М  , М  , М  m
    m  , m  
       = m
    Если две плоскости имеют общую точку,
    то они имеют общую прямую,
    на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

  • СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМТ-1Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно пр...

    11 слайд

    СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
    Т-1
    Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

    m
    м
    А
    В
    Дано: Мm
    Так как Мm, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.
    По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ..
    Таким образом, плоскость  проходит через прямую m и точку M и является искомой.

    Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости  и  проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость  единственна.

    Теорема доказана
    Доказательство
    Пусть точки A, B  m.

  • СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМТ-2Через любые две пересекающиеся прямые  можно провести п...

    12 слайд

    СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
    Т-2
    Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

    N
    м
    m
    n
    Дано: m  n = M
    Доказательство
    Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.
    Рассмотрим плоскость  =(n, N). Так как M  и N, то по А-2 m  . Значит обе прямые m, n лежат в плоскости  и следовательно , является искомой
    Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости  и проходящая через прямые m и n, плоскость .
    Так как плоскость  проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости  доказана.
    Теорема доказана

  • По трем точкам, не лежащим  на одной прямой
По прямой и точке, не лежащей на...

    13 слайд

    По трем точкам, не лежащим на одной прямой
    По прямой и точке, не лежащей на этой прямой
    По двум пересекающимся прямым
    По двум параллельным прямым
    ВЫВОД
    Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

  • Определение 
Тело называется простым, если его можно разбить на конечное числ...

    14 слайд

    Определение 
    Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.
    В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.
    Определение 
    Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами:
    равные тела имеют равные объемы;
    при параллельном переносе тела его объем не изменяется;
    Определение объема тела

  • за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины; 

ес...

    15 слайд

    за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

    если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;
    Определение
    Тела с равными объемами называются равновеликими .
    Из свойства 2 следует, что если тело
    с объемом V 1 содержится внутри тела
    с объемом V 2, то V 1  <  V 2.

  • Теорема 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измере...

    16 слайд

    Теорема 1.
    Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V  =  abc
    Теорема 2.
    Объем прямой призмы равен
    произведению площади основания на высоту:
    V  =  SH .
    Пусть ABCA 1 B 1 C 1 – прямая треугольная призма,
    причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC

    Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA 1 C 1 B 1 D 1.
    Середина O диагонали AB 1 этого параллелепипеда является его центром симметрии.
    Данная призма и призма ABDA1B1D1, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O , а поэтому равновелики.

  • Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA1B1C1 Если Δ  ABC не п...

    17 слайд


    Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA1B1C1 Если Δ  ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC  и BDC .
    Следовательно,
    V  =  V 1  +  V 2  =  S Δ  ADC  ·  H  +  S Δ  BDC  ·  H  = 
    SΔ  ABC  ·  H  =  S  ·  H .

    Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n  > 3),
    разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм

    Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n -угольной призмы V  =  V 1  +  V 2  + ... +  V n  = ( S 1  +  S 2  + ... +  S n ) H  =  S  ·  H , где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм,
    S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.
    Пусть V и V 1 – соответственно
    объемы призмы ABCA 1 B 1 C 1
    и параллелепипеда,
    тогда, учитывая теорему1, получим

  • Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1

 Если Δ  AB...

    18 слайд

    Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1

    Если Δ  ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC  и BDC .

    Следовательно, V  =  V1  +  V2  =  SΔ  ADC  ·  H  +  SΔ  BDC  ·  H  =  S Δ  ABC  ·  H  =  S  ·  H .
    Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n -угольная призма ( n  > 3),
    разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм
    Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем
    n -угольной призмы
    V  =  V 1  +  V 2  + ... +  V n  = ( S 1  +  S 2  + ... +  S n ) H  =  S  ·  H ,
    где S 1, S 2, ..., S n – площади оснований треугольных призм,
    S и H – площадь основания и высота n -угольной призмы.

  • Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ре...

    19 слайд


    Объем наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро: V  =  S пс  
    Пусть ABCA1B1C1 – наклонная призма (чертеж 6.1.4), A2B2C2 и A3B3C3 – перпендикулярные сечения этой призмы.
    Призма A2B2C2A3B3C3 прямая, причем A2A3=A1A .Заметим, что параллельный перенос на вектор переводит многогранник A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 C 1 в многогранник A 3 B 3 C 3 ABC .
    Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA 1 B 1 C 1, V 1 – объем призмы A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2, V 2 – объем многогранника A 2 B 2 C 2 ABC , тогда V  +  V 2  =  V1 +  V2, откуда V  =  V 1.
    Поскольку призма A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2 прямая, то
    V 1  =  S Δ  A 3 B 3 C 3  ·  A 2 A 3  = Sпс  ·  l  =  V , что и требовалось доказать
    Теорема 3.

  •   Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V  ...

    20 слайд

     
    Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту: V  =  S  ·  H .
    Пусть A 2 B 2 C 2 – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA 1 B 1 C 1, A 1 O  – высота этой призмы.
    Пусть . Поскольку , а , то плоскости A2B2C2 и ABC образуют тот же угол φ, что и прямые A 1 A и A 1 O .
    По теореме о площади ортогональной проекции SA2B2C2  =  S AB С  cos φ. Согласно теореме 3

    V  =  S A 2 B 2 C 2  ·  A 1 A  =  S AB С  cos φ ·  A 1 A  = SABС  ·  A 1 O  =  S  ·  H .
    Теорема 4.

  • . Объём: V = Sh S — площадь основанияМногогранник — тело, ограниченное пло...

    21 слайд

    .


    Объём: V = Sh
    S — площадь основания
    Многогранник — тело, ограниченное плоскостями.

    Призма — многогранник, основания которого
    равные многоугольники,
    боковые грани — параллелограммы.

    АВ — ребро;
    h — высота
    Объёмы тел
    и их изображение в пространстве

  • Параллелепипед — призма, у которой основания параллелограммы. 
Все диагонали...

    22 слайд

    Параллелепипед — призма, у которой основания параллелограммы.
    Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке
    Прямоугольный параллелепипед — у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию.
    Рёбра:
    а — длина, b — ширина, с — высота; d — диагональ
    (все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны)
    Объём: V = a•b•c
    Полная поверхность: S = 2(ab + bc + ca) d 2 = a 2 + b 2 + c 2

  • Для построения изображения произвольного параллелепипеда AоBоCоDоAóBóСóDó зам...

    23 слайд

    Для построения изображения произвольного параллелепипеда AоBоCоDоAóBóСóDó заметим, что точки Ао, Во, Dо и Аó являются вершинами тетраэдры АоВоDоАó.
    Другими словами, любые три отрезка AB, CD и AA' плоскости изображения с общим концом А, ни какие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением рёбер AоBо, AоDо и AоАó параллелепипеда.
    Поэтому в качестве их изображения
    можно взять вершины произвольного
    четырёхугольника АВDА'.

  • Таким образом параллелепипед ABCDA&#039;B&#039;C&#039;D&#039; является изображением параллелепипе...

    24 слайд

    Таким образом параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AоBоCоDоAóBóСóDó .
    Но тогда изображения остальных рёбер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами.

  • Куб — прямоугольный параллелепипед,все грани которого квадраты. а=b=сV = а 3...

    25 слайд

    Куб — прямоугольный параллелепипед,
    все грани которого квадраты. а=b=с
    V = а 3
    (отсю­да и название третьей степени — «куб»),
    d — диагональ
    S = 6a 2
    d 2 =3a 2
    Число граней – 6,
    форма граней – квадраты,
    число ребер – 12, число вершин – 8.

  • Пирамида –многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани -...

    26 слайд

    Пирамида –
    многогранник, основание которого многоугольник,
    а остальные грани - треугольники,
    имеющие общую вершину.
    По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д.
    Основание

  • 43Тетраэдр –это один из пяти типов правильных многогранников; 
правильная тре...

    27 слайд

    4
    3
    Тетраэдр –
    это один из пяти типов правильных многогранников;
    правильная треугольная пирамида;
    1
    2
    число вершин – 4.
    Под изображением многогранника следует понимать фигуру,
    состоящую из проекций всех его рёбер.
    Число граней – 4,
    форма граней – треугольники,
    число ребер – 6,

  • Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) ч...

    28 слайд

    Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования.
    На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми линиями.

  • Отрезки AB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольник...

    29 слайд

    Отрезки AB, BC, CA, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырёхугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A0B0C0D0 .
    Пусть A0B0C0D0 – произвольный тетраэдр,
    A, B, C и D – параллельные проекции
    его вершин на плоскость изображений (π).

  • Усеченная пирамида – плоскость сечения которой параллельна плоскости основания.

    30 слайд

    Усеченная пирамида – плоскость сечения которой параллельна плоскости основания.

  • •  Число граней – 8, 
форма граней – треугольники,
 число ребер – 12, 
число...

    31 слайд

    •  Число граней – 8,
    форма граней – треугольники,
    число ребер – 12,
    число вершин – 6.
    Октаэдр
    ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

  • Додекаэдр •  Число граней – 12, 
форма граней – пятиугольники, число ребер –...

    32 слайд

    Додекаэдр
    •  Число граней – 12,
    форма граней – пятиугольники, число ребер – 30, число вершин – 20.
    ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

  • Икосаэдр Число граней – 20, 
форма граней – треугольники,
число ребер – 30,
ч...

    33 слайд

    Икосаэдр
    Число граней – 20,
    форма граней – треугольники,
    число ребер – 30,
    число вершин – 12.
    ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

  • Цилиндры. •  Круглый прямой. •  Круглый усеченный 
S – площадь боковой пове...

    34 слайд

    Цилиндры.
    •  Круглый прямой.
    •  Круглый усеченный

    S – площадь боковой поверхности.
    V – объем.
    ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

  • Сфера – поверхность шара ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

    35 слайд

    Сфера – поверхность шара
    ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

  • R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляп...

    36 слайд


    R — радиус шара;
    а — радиус окружности сечения;
    h — высота отсекаемой шляпки
    ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
    Шаровой сектор.

  • R — радиус шара; а — радиус окружности сечения; h — высота отсекаемой шляпк...

    37 слайд

    R — радиус шара;
    а — радиус окружности сечения;
    h — высота отсекаемой шляпки
    Шаровой сегмент
    ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

  • R — радиус шара, a , b — радиусы окружностей сечений, h — высота слоя Шаров...

    38 слайд

    R — радиус шара,
    a , b — радиусы окружностей сечений,
    h — высота слоя
    Шаровой слой
    ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

  • Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, вы...

    39 слайд

    Сюда входит: выбор оптимального положения изображаемого тела (в частности, выбор ориентации - верх и низ, право и лево),
    выбор ракурса и проекции, умение минимизировать количество изображенных линий (напомним, что видимые и невидимые линии должны изображаться различным образом),
    умение строить сечения и проекции на плоскость, умение выделить на пространственном чертеже
    и соответственно изобразить плоскую конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение перевести условие задачи на графический язык.

    При решении стереометрических задач высоки
    требования к качеству чертежа, его наглядности.
    Нельзя научиться решать сколько-нибудь содержательные стереометрические задачи, не освоив принципы и технику построения пространственного чертежа.

  • 40 слайд

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 106 материалов в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 06.08.2020 210
    • PPTX 1 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Токарева Татьяна Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Токарева Татьяна Михайловна
    Токарева Татьяна Михайловна
    • На сайте: 3 года и 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 86409
    • Всего материалов: 225

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Специалист в области охраны труда

72/180 ч.

от 1750 руб. от 1050 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 42 человека из 21 региона

Курс профессиональной переподготовки

Руководство электронной службой архивов, библиотек и информационно-библиотечных центров

Начальник отдела (заведующий отделом) архива

600 ч.

9840 руб. 5900 руб.
Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Организация деятельности библиотекаря в профессиональном образовании

Библиотекарь

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 281 человек из 66 регионов

Мини-курс

Стратегии бизнес-развития

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Общественные движения и организации

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Методы решения нестандартных математических задач

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе