Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Обратные тригонометрические функции
Работу выполнила:
Ученица 10 А класса
МОУ «Гимназии №125»
Щепеткова Дарья
Рук. Чикрин Е.А.
2 слайд
Историческая справка
Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других.
В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабсками учеными. В трудах по астрономии Ариабхаты появляется термин «ардхаджива». Позднее привилось более краткое название «джива», а при переводе математических терминов в XII в. Это слово было заменено латинским «sinus».
Принципиальное значение имело составление Птолемеем первой таблицы синусов(долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.
Слово косинус –это сокращение латинского выражения «complementy sinus»(синус).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени.Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X веке Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. Т. Бравердином, а позже астрономом Региомонтаном.
Первым автором, который использовал специальные символы для обратных тригонометрических функций был, Бернулли. В 1729 и в1736 годах он писал as и at соответственно вместо arcsin и arctg.Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера известного французского ученого Лагранжа.Приставка «arc» происходит от латинского «arcus»(лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x, например,- это угол (а можно сказать и дуга) синус которого равен x.
3 слайд
Для тригонометрических функций можно определить обратные функции (круговые функции, аркфункции). Они обозначаются соответственно , , , .
К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
аркси́нус (обозначение: arcsin)
аркко́синус (обозначение: arccos)
аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
арксе́канс (обозначение: arcsec)
арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)
4 слайд
Почему можно определить обратную тригонометрическую функцию.
Теорема о корне: Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число a – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение F(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.
На промежутке функция монотонна, возрастает, т.е.
все значения от -1 до 1 принимает ровно один раз, поэтому можно определить обратную функцию - arcsin x.
На промежутке функция монотонна, убывает, т.е.
принимает все значения от -1 до 1 ровно один раз, поэтому можно определить обратную тригонометрическую функцию.
На интервале функция монотонна, возрастает и принимает все значения из R ровно один раз, поэтому можно определить обратную тригонометрическую функцию.
На интервале функция монотонна, убывает , принимает все значения из R ровно один раз, поэтому мы можем определить обратную тригонометрическую функцию.
5 слайд
Арксинус
Арксинус -угол из промежутка синус которого равен а.
Если , то
Функция y = arcsinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.
--функция нечетная
Таким образом, arcsina, (arctga) - угол первой четверти, если a - положительно, и угол четвертой четверти, если a - отрицательно.
,
6 слайд
Арккосинус
Арккосинус -угол из промежутка
, косинус которого равен а.
Если , то
Функция y = arccosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
Функция y = arccosx является строго убывающей.
arccosa (arctga) - угол первой четверти, если a - положительно, и угол второй четверти, если a - отрицательно.
7 слайд
Арктангенс
Арктангенс -угол из интервала тангенс которого равен а.
- нечётная функция
Функций непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
Функция является строго возрастающей.
,
8 слайд
Арккотангенс
Арккотангенс -угол из интервала , котангенс
которого равен а.
Функция непрерывна и ограничена на всей своей
числовой прямой.
Функция является строго убывающей.
9 слайд
Преобразований сумм обратных тригонометрических функций
На промежутке функция возрастает, т.е. каждое свое значение
принимает ровно один раз, т.е. если на промежутке .
;
Аналогично:
10 слайд
Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями
Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность( функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих областях определения). Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.
I
Замечание. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | £ 1 (тогда используем первую систему), или | g(x) | £ 1 (в этом случае используем вторую систему).
11 слайд
Примеры
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Уравнение равносильно системе:
Замечание. Решать неравенство, входящее в систему не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения.
12 слайд
Пример 2. Решить неравенство 3arcsin 2x < 1.
Решение.
13 слайд
II
Замечание. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 2а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | £ 1 (тогда используем первую систему), или | g(x) | £ 1 (в этом случае используем вторую систему).
14 слайд
Пример 3. Решить неравенство
Решение.
Ответ: {– 2}.
15 слайд
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Так как , то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований:
16 слайд
III
а) arctg f(x) = arctg g(x) f(x) = g(x);
б) acrtg f(x) ≤ arctg g(x) f(x) ≤ g(x).
а) arcctg f(x) = arcctg g(x) f(x) = g(x);
б) arcctg f(x) ≤ arcctg g(x) f(x) ≥ g(x).
IV
17 слайд
Пример 5. Решить неравенство
Решение. Неравенство равносильно следующему:
18 слайд
Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями
При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x0 – решение этого уравнения.
Обозначим arcsin f(x0) = arccos g(x0) через a.
Тогда sin a = f(x0), cos a = g(x0),
откуда
Итак, arcsin f(x) = arccos g(x) (1)
19 слайд
Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:
Замечание. Корнем каждого из уравнений (1)–(4) может быть только такое число x0, для которого
и .
В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.
20 слайд
Пример 6. Решить уравнение
Решение.
Корень является посторонним.
Ответ: {1}.
Примеры
21 слайд
Пример 7. Решить уравнение
Решение.
Корень x = – 2 является посторонним.
Ответ:
22 слайд
Пример 8. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x).
Решение.
Корни вида являются посторонними.
Ответ:
23 слайд
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.
Пример 9. Решить неравенство
Решение. Рассмотрим функцию
и решим неравенство f(x) ≤ 0 методом интервалов.
1) Найдем D(f). Для этого решим систему
2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение
Корень x = – 2 является посторонним
24 слайд
3) Решим неравенство f(x) ≤ 0 методом интервалов.
Замечание 4. Заметим, что найдя корень уравнения
можно было не обращаться к методу интервалов, а воспользоваться тем, что функция
является монотонно возрастающей, а функция
монотонно убывающей на отрезке . Поэтому решением исходного неравенства является промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, понимать, что метод интервалов является более универсальным, – ведь его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.
25 слайд
При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)–(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,
26 слайд
Замена переменной
Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.
Пример 10. Решить уравнение
Решение. Обозначим
После преобразований получим уравнение
Поскольку
откуда
Ответ:
27 слайд
Пример 11.
Решить неравенство
Решение. Пусть arccos x = t, 0 ≤ t ≤ p. Тогда
Поскольку
откуда
Ответ: [– 1; cos 2] И [cos 1; 1].
Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью тождества
28 слайд
Пример 12.
Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующему:
Пусть arcsin x = t,
Тогда
29 слайд
IV. Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций
Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.
Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет не более одного решения.
Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.
Теорема 3. Если то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно
системе
30 слайд
Пример 13. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.
Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y = 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.
Ответ: {0,5}.
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Пусть Тогда уравнение примет вид
Функции являются монотонно возрастающими.
Поэтому функция также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение
имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому
Ответ: {– 1; 0}.
31 слайд
Пример 15. Решить неравенство
Решение.
Левая часть неравенства представляет собой монотонно
убывающую на отрезке функцию
Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что – корень этого уравнения.
Поэтому решением неравенства
является отрезок
Ответ:
32 слайд
Пример 16. Решить уравнение
arcsin (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = .
Решение. Поскольку arcsin
то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно Таким образом, уравнение равносильно системе:
Решение последней системы не представляет труда.
33 слайд
Уравнения и неравенства с параметрами.
Пример 1. Решить уравнение с параметром a:
Решение. Уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая:
1) a = 0. В этом случае система примет вид:
2) a ≠ 0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни:
Так как | x | ≤ 1, то
Если a = – 1, то Если то уравнение имеет два корня.
Ответ:
при при a = – 1 и a = 0 x = 1;
при прочих a решений нет.
34 слайд
Пример 2. Решить неравенство с параметром a:
Решение. Неравенство равносильно системе
Решать последнюю систему можно графо-аналитическим методом, учитывая то, что
при a > первое неравенство системы равносильно неравенству x ≥ 1,
при a < – неравенству x ≥ 1,
при a = решением первого неравенства является любое действительное число.
Множество всех точек (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано на рис. 1 штриховкой.
Ответ:
при | a | > решений нет;
при a =– x = 1;
35 слайд
Пример 3. Решить уравнение с параметром a:
arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a).
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Графиком квадратного трехчлена
является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 < 0, то
при любом a уравнение f(x) = 0 имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2a.
Поэтому только больший корень f(x) удовлетворяет условию x > 2a.
Это корень
Ответ: при любом a
36 слайд
Список используемой литературы
1.Коломогоров «алгебра начало анализа»
2.Вельмушкина, Н. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции [Текст] / Н. Вельмушкина // Математика / Прил. к ПС, 2004. – №6. – С.26-27.
3.В.С. Крамор, П.А Михайлов " Тригонометрические функции ." Москва "Просвещение " 1983г.
4.В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович . " Практикум по решению математических задач. " Москва "Просвещение " 1984г.
5.А.П. Ершова , В. В. Голобородько " Алгебра . Начала анализа. " "ИЛЕКСА " Москва 2003г
6. Кожеуров, П.Я. Тригонометрия [Текст] / П.Я. Кожеуров. – М.: Физматгиз, 1963. – 320с.
7.Савин, А. Тригонометрия [Текст] / А. Савин // Квант, 1996. – №4.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 665 159 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Максимова Мария Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.