Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Производная функции
Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование
2 слайд
Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение :
y
0
х
х
f(x )
x+Δx
f(x+ Δx )
Найдем соответствующее приращение функции:
Если существует предел
то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:
3 слайд
Определение производной
Итак, по определению:
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.
4 слайд
Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
y
0
х
х
f(x )
x+Δx
М
М1
f(x+ Δx )
Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
φ
При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
y
0
х
х
f(x )
α
М
5 слайд
Геометрический смысл производной
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Уравнение касательной
Уравнение нормали
6 слайд
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.
Теорема
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:
Доказательство:
где
при
По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.
7 слайд
Производные основных элементарных функций
1
Формула бинома Ньютона:
Степенная функция:
Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:
K – факториал
8 слайд
Производные основных элементарных функций
По формуле бинома Ньютона имеем:
Тогда:
9 слайд
Производные основных элементарных функций
2
Логарифмическая функция:
Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.
10 слайд
Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
11 слайд
Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
12 слайд
Пример
Вычислить производную функции
13 слайд
Пример
Вычислить производную функции
Данную функцию можно представить следующим образом:
Коротко:
14 слайд
Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.
Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:
15 слайд
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
16 слайд
Логарифмическое дифференцирование
Функция называется степенно – показательной.
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 664 887 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ожегова Маргарита Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.