Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Работу подготовили учащиеся 9 класса
МОУ СОШ №3 городского округа
город Мантурово
Соколов Илья Викторович,
Соколов Дмитрий Викторович.
Руководитель:
Малышева Светлана Юрьевна,
учитель математики высшей категории
Решение диофантовых уравнений
2 слайд
Цели и задачи.
Биография Диофанта
Диофантовы уравнения с одной неизвестной
Диофантовые уравнения первой степени
Диофантовые уравнения высших степеней
Другие методы решения диофантовых уравнений
Содержание.
3 слайд
Цели : научиться находить решения неопределенного диофантового уравнения, если это решение имеется.
Для достижения наших целей, были поставлены следующие задачи:
1) Изучить литературу о Диофанте, и о диофантовых уравнениях.
2) Понять, как решаются диофантовые уравнения.
3) Найти различные методы их решеня.
4) Систематизировать материал.
5) Выступить с ним на научной конференции.
Цели и задачи.
4 слайд
Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э.
Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
Биография Диофанта.
5 слайд
«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида , или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.
6 слайд
В дальнейшем нам потребуются следующие определения
Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с n неизвестными называется уравнение вида a1x1+a2x2+ … +anxn = b,
где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно ai≠0.
Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.
Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная n - ка целых чисел (( x1, x2 … ,xn )) , такая, что a1x1+a2x2+ … +anxn=b.
Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется.
Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:
1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.
2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.
Диофантовы уравнения с одной не известной.
7 слайд
Рассмотрим уравнение
a0 + a1x + ... + anxn = 0, (2) где aj Є Z (j = 0,...,n), an ≠ 0.
Покажем, каким образом можно определить все рациональные корни уравнения (2) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида (2) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что a0 ≠ 0. Пусть r - рациональный корень уравнения (2), r = pq, где p Є Z, q Є N*, (p, q) = 1. Умножая обе части равенства a0+a1p∕q+ … +an(p/q)n=0,
на qn, получим
a0qn + a1p*qn-1 + ... + an-1pn-1q + anpn = 0,
следовательно,
pa0qn и qanpn.(3)Так как (p,q) = 1, то (p,qn) = 1, (q,pn) = 1, поэтому из соотношений (3) следует, что pa0, qan.
Поскольку рациональных чисел вида r = p/q, таких что (p,q) = 1, pa0, qan, конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них, которые являются решением уравнения (2). Как следует из приведенных выше рассуждений, других решений уравнение (2) иметь не может.
8 слайд
Диофантовы уравнения первой степени.
Перейдем теперь к решению в целых числах уравнений первой степени или так называемых линейных уравнений, т. е. уравнений вида
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b,(6)где aj Є Z (j = 1,2,...,n), b Є Z.
Предположим, что не все числа aj (j = 1,...,n) равны нулю. Очевидно, для существования решения в целых числах уравнения (6) необходимо, чтобы (a1,...,an)b. Покажем, что это условие является и достаточным. Положив перейдем к равносильному
уравнению a1’x1 + ... + an’xn = b ’ (7), где (a1’, ..., an’) = 1. Пусть ai, ’ aj ’- два ненулевых числа, таких, что |ai ’| ≠ |aj ’|. Для определенности предположим, что i < j, |ai ’|> |aj ’|. Разделив с остатком ai ’ на aj’ , получим представление ai ’= aj ’q + r. Заменив ai ’на aj ’q + r в уравнении (7), приведем его к виду
а1’ x1 + ... + rxi + ... + aj ’(xj + qxi) + ... + an’xn = b ’. (8) Перепишем уравнение (8) в виде аk ’, k ‡ i хk, k ‡ j,
a1 ’’x1 + ... + an ’’xn ’’= b ’, (9), где ak ’’= хk ’’= . r , k ‡ i хj+ q хj , k = j,
9 слайд
Очевидно, что решения уравнения (7) и (9). связаны между собой взаимно однозначным соответствием и, таким образом, решив уравнение (9), несложно найти все решения уравнения (7). С другой стороны отметим, что k, i {1,...,n}, k ≠ i
аk ’’= ak ’, |ai ’’| < |ai ’|.
Отметим также, что
(a1 ’’, ..., an ’’) = (a1 ’, ..., ai ’ - aj· ’q, ..., an ’ ) = (a1 ’, ..., an ’ ) = 1. .
Следовательно, за конечное число шагов уравнение (7) приведется к виду а1х1 +…+ аnхn= b ’ (10), где числа (i = 1,...,n), которые не равны нулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношения следует, что числа (i = 1,...,n) могут принимать только значения 0,±1, причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности, . Тогда уравнение (10) имеет следующее решение:
где t2, t3, ..., t - произвольные целые числа. Отсюда, учитывая проведенные замены, получается и решение уравнения (7). Отметим, что при получении решения уравнения (10) использовался лишь факт, что , поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на том шаге, когда хотя бы один из коэффициентов станет равен ±1.
10 слайд
Диофантовы уравнения высших степеней.
1. Метод разложения на множители
Доказать: что уравнение (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30
не имеет решений в целых числах.
Решение:
Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду
(x - y)(y - z)(z - x) = 10.
Заметим, что (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0. С другой стороны, делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из этого множества, дающих в произведении 10, не будет равняться 0.
11 слайд
2. Использование четности
Доказать, что уравнение x3 + 2y3 + 4z3 - 6xyz = 0, (13)
в целых числах не имеет решений, не равных нулю одновременно.
Решение:
Предположим, что числа x, y, z, не равные одновременно нулю, являются решением исходного уравнения. Видно, что число x - четное. Подстановка x = 2x1 дает
4x13 + y3 + 2z3 - 6x1yz = 0.
Отсюда следует, что число y - четное, y = 2y1. Учитывая это, получим
2x13 + 4y13 + z3 - 6x1y1z = 0.
Следовательно, z - также четное число. После подстановки z = 2z1 уравнение принимает вид
x13 + 2y13 + 4z13 - 6x1y1z1 = 0.
Рассуждая аналогично, доказывается, что для любого n N
2n|x, 2n|y, 2n|z. Противоречие.
12 слайд
Другие методы решения диофантовых уравнений
Задача:
Доказать, что уравнение
x 3 + y 3 + z 3 = 2
имеет бесконечно много решений в целых числах.
Решение:
Положим x = a + b, y = a - b. Тогда x 3 + y 3 = 2a 3 + 6ab 2. С учетом последнего равенства исходное уравнение принимает вид
2a 3 + 6ab 2 + z 3 = 2.
Положив a = 1, получим z 3 = -6b 2. Положим теперь b = 6t 3. Отсюда z = -6t 2, x = 1 + 6t 3, y = 1 - 6t 3. Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t
13 слайд
Задача:
Доказать, что уравнение
X 2 - 2y 2 = 1 (14)имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
Решение:
Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравнения. С другой стороны из тождества
(x 2 + 2y 2)2 - 2(2xy)2 = (x2 - 2y2)2
следует, что если (x, y) - решение уравнения (14), то пара (x2 + 2y2 , 2xy) также является его решением. Используя этот факт, рекуррентно определим бесконечную последовательность (xn , yn) различных решений исходного уравнения:
(x1 , y1) = (3,2) и xn+1 = xn2 + 2yn2, yn+1 = 2xnyn, n N.
Задача:
Доказать, что уравнение
x(x + 1) = 4y(y + 1)
неразрешимо в целых положительных числах.
Решение:
Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению
x2 + x + 1 = (2y + 1)2.
Следовательно, x2 < (2y + 1)2 < (x + 1)2 или x < 2y + 1 < x + 1. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
14 слайд
Задача: решить в целых числах уравнение.
Решение:
Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Применяя неравенство Коши, получим
Следовательно, xyz = 1. Отсюда получим, что решениями могут быть только тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Проверкой убеждаемся, что каждая из них действительно является решением исходного уравнения.
Задача: Доказать, что уравнение
не имеет решений в целых положительных числах.
Решение:
Положим d = (x , y), x1 = x/d, y1 = y/d. Так как
x2 + xy + y2 = x2y2,
следовательно,
x12 + x1y1 + y12 = d 2x12y 12. (15)Отсюда получаем, что
x1|y1, y1|x1.
Учитывая, что (x1,y1) = 1, делаем вывод, что x1 = y1 = 1. Таким образом, уравнение (15) принимает вид
d2 = 3,
Отсюда следует требуемое утверждение.
15 слайд
Задача:
Доказать, что уравнение
x2 + 1 = py,
где p - простое число вида 4k+3, неразрешимо в целых числах.
Решение:
Предположим, что исходное уравнение разрешимо в целых числах. Тогда
x2 + 1 ≡ 0(mod p).
Но, согласно малой теореме Ферма,
-1 ≡ (-1)2k+1 ≡ (x2)2k+1 ≡ x p-1 ≡ 1(mod p).
Полученное противоречие доказывает неразрешимость исходного уравнения в Z.
Задача: решить в целых числах уравнение
2x3 + xy - 7 = 0.
Решение:
Из условия следует, что x должен быть делителем числа 7. Т. е. возможные значения x находятся среди чисел {±1, ±7}. Перебрав эти возможности, получаем решение уравнения: (1,5), (-1,-9), (7,-97), (-7,-99
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 655 172 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Якубова Регина Вагизовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.