Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Семинар-практикум
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Зубарева Т.В.,
учитель математики
Темниковской СОШ №1
2 слайд
Цели:
Систематизация и обобщение приемов работы с пространственными объектами: прямыми , плоскостями и телами
Знакомство с новым понятием: расстояние между скрещивающимися прямыми
Усвоение и отработка общих приемов определения расстояний между скрещивающимися прямыми
3 слайд
Задачи:
Устная работа по актуализация необходимых известных приемов работы с пространственными объектами: прямыми и плоскостями
Определение нового понятия: расстояние между скрещивающимися прямыми
Решение типовых задач на определение расстояний между скрещивающимися прямыми
Решение проблемной задачи на обобщение приема нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми
4 слайд
Средства:
Модели пространственных фигур, чертежи к задачам
Теорема Фалеса и теорема о трех перпендикулярах
Приемы стерео и планиметрических построений
Типовые и проблемные задачи
Компьютер с мультимедийным проектором
5 слайд
План:
Первый урок:
Актуализация: выполнение устных заданий, доказательство теоремы, решение задачи
Определение и усвоение нового понятия
Второй урок . Решение типовых задач на усвоение и отработку нового понятия
Третий урок. Проблемная задача на обобщение приема нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми
6 слайд
Первый урок
Подготовительные устные задачи
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
K
L
N
Параллельны ли прямая B1K и плоскость DD1C1C?
Параллельны ли прямые C1D и B1K?
Параллельны ли прямая AC и плоскость A1B1C1D1?
Параллельны ли прямая AL и плоскость A1B1C1D1?
7 слайд
Первый урок
Подготовительные устные задачи
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
K
L
N
Установите все пары: прямая и параллельная ей плоскость
8 слайд
Первый урок
Подготовительные устные задачи
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
K
L
N
Как определяется расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью?
Найдите расстояние между прямой MN и плоскостью AA1D1D
Найдите расстояние между прямой MN и плоскостью DD1C1C
Найдите расстояние между прямой B1K и плоскостью DD1C1C
9 слайд
Первый урок
Постановка проблемы
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
K
L
Как можно определить расстояние между скрещивающимися прямыми ?
K1
L1
Найдите расстояние между прямыми:
A1B и C1D,
A1B и DK ,
A1B и DL.
10 слайд
Первый урок
Какие следствия можно сформулировать?
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
K
L
Отрезок с концами на двух скрещивающихся прямых одновременно перпендикулярный им и есть расстояние между этими прямыми
K1
L1
Этот отрезок равен расстоянию от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости в которой лежит другая прямая
11 слайд
Первый урок
Теорема
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
Диагональ куба перпендикулярна каждой диагонали грани куба, скрещивающейся с ней
Доказательство: ACBB1D1D, отсюда AC любой прямой плоскости BB1D1D
12 слайд
Первый урок
Следствие теоремы. Задача.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
M
Рассмотрим треугольники BB1D и OMD. Из их подобия следует OM/BB1=OD/B1D
OM=BB1OD/B1D=a/√6
Найдите расстояние между скрещивающимися диагональю куба и диагональю его грани.
Решение. Треугольник BB1D перпендикулярен AC. Отрезок OM B1D, будет перпендикулярен и AC . OM - расстояние между AC и B1D.
13 слайд
Второй урок
Обобщение.Три типовых случая определения расстояния между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к обеим прямым (единственный!)
Перпендикуляр от одной из прямых до параллельной плоскости, в которой расположена другая прямая, конец которого не обязательно лежит на прямой!
Перпендикуляр между параллельными плоскостями в которых лежат скрещивающиеся прямые, концы которого не обязательно лежат на прямых!
14 слайд
Второй урок
Проблема: Как найти плоскость с одной прямой, параллельную другой скрещивающейся прямой ?
Достаточно провести через одну из скрещивающихся прямых прямую линию, параллельную другой скрещивающейся
Заметим, что отрезок соединяющий точки пересечения пар параллельных прямых не равен расстоянию между скрещивающимися прямыми!
15 слайд
Второй урок
Типовые задачи
Чаще других возникают задачи с перпендикулярными скрещивающимися прямыми.
К этому типу относится уже рассмотренная задача о расстоянии между диагональю куба и скрещивающейся диагональю его грани.
Стандартный прием решения этих задач заключается в проведении плоскости, в которой лежит одна прямая, перпендикулярно другой скрещивающейся прямой
16 слайд
Второй урок
Решение задач
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра AB=a. Найдите расстояние между прямыми AD и D1 M, где M – середина ребра DC
Плоскость грани DD1C1C перпендикулярна ребру AD. Из точки D опустим перпендикуляр DK на D1 M. Треугольники DD1M и DKM подобны с коэффициентом подобия 1/2. DK=D1M/2=a√5/2
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
K
17 слайд
Второй урок
Решение задач
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра AB=a. Найдите расстояние между прямыми BD и O1 M, где M – середина AO, O и O1 – центры граней ABCD и A1B1C1D1, соответственно
Диагональная плоскость AA1C1C перпендикулярна прямой BD. Из точки O опустим перпендикуляр OK на O1 M. Треугольники OO1M и OKM подобны. OK=OO1OM/O1M =a/3 (по теореме Пифагора O1M=3/2√2, OM=1/2√2)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
K
M
O
18 слайд
Второй урок
Прием параллельных плоскостей
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра AB=a. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями AC и A1 B смежных граней ABCD и AA1B1B
Проведем диагональ D1C||A1B, получим треугольник AD1C||A1B, проведем диагональ A1C1||AC, получим треугольник A1BC1||AC
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
K
M
O
M
N
Плоскости треугольников AD1C и A1BC1 параллельны и перпендикулярны плоскости BB1D1D
19 слайд
Второй урок
Прием параллельных плоскостей
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
K
M
O
M
N
Рассмотрим сечение куба плоскостью BB1D1D. Искомое расстояние MN по теореме Фалеса равно 1/3 диагонали B1D: MN=a/√3
M
N
B
B1
D1
D
O1
O
Замечание. Перпендикулярность B1D к B1O и OD1 следует из доказанной теоремы на первом уроке.
20 слайд
Третий урок
Обобщение приемов определения расстояний между скрещивающимися прямым
Проблема. Даже в случае, если определены параллельные плоскости, в которых лежат прямые, часто трудно найти расстояние между ними –необходимо еще провести третью перпендикулярную плоскость
Для решения проблемы достаточно провести эту плоскость перпендикулярно к одной из прямых!
21 слайд
Третий урок
Задача на обобщение приема
Проведем через точку A прямую параллельную BM. Из точки B опустим на неё перпендикуляр BK.
A
B
C
M
D
K
N
По теореме о трех перпендикулярах DK AK и треугольник DBK треугольнику ADK , в которой лежит прямая AD.
Прямая BM находится на расстоянии BN от плоскости ADK, равном длине перпендикуляра BN к DK!
22 слайд
Третий урок
Задача на обобщение приема
A
B
C
M
D
K
N
Вычислим длину отрезка BN через площадь DBK и длину DK.
SDBK =a2/4, DK=√5∙a/2, BN=2 SDBK /DK BN=a/ √5
23 слайд
Третий урок
Рефлексия. Осмысление обобщенного приема
Рассмотренный способ последней задачи носит обобщенный характер.
Если не проходят более элементарные приемы, то последний способ часто оказывается решающим.
A
B
M
D
Идея этого приема связана с двумя дополнительными объектами: а) плоскостью, в которой лежит одна из прямых. б) перпендикуляром к ней, через который проходит вторая прямая.
Запомните последнюю картинку!
24 слайд
Третий урок
Ориентировочная основа обобщенного приема
Первый этап: через точку A прямой проводим прямую параллельно BM
A
B
M
D
Второй этап: из точки B опустим перпендикуляр до пересечения с прямой AE
E
K
Третий этап: в прямоугольном треугольнике DBK опустим перпендикуляр BN на DK. Его длина и будет равна расстоянию между прямыми AD и BM
N
25 слайд
Третий урок
Как найти точки на скрещивающихся прямых AD и BM, ближайшие друг к другу?
Через точку N проводим прямую параллельно BM до пересечения с прямой AD в точке L (в плоскости треугольника ADK).
A
B
M
D
E
K
Прямоугольный треугольник DBK переносим параллельно вдоль прямой на отрезок NL. Новые положения точек B и N будут ближайшими друг к другу точками прямых AD и BM
N
L
26 слайд
Третий урок
Задача на закрепление обобщеннного способа
В кубе с длиной ребра a=5 на ребрах AD и D1C взяты точки K и M, соответственно. Найдите расстояние между прямыми A1K и D1M, если AK=4 и DM=3.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
K
E
H
N
Решение. Через точку E пересечения A1K c D1D проведем прямую || D1M. Из точки D1 на неё опустим перпендикуляр до пересечения в точке F. Высота D1N треугольника A1D1F и дает искомое расстояние.
F
27 слайд
Третий урок
Решение задачи на закрепление
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
K
E
H
N
Вычисления. D1H=DMD1E/D1D=35/4=15/4. EH2=A1D12+D1F2=2527/4. EH=45√3/2. SHD1E=225/8.
F
D1F=2SHD1E/EH=5/√3. A1F2=AD12+D1F2=25+25/3. A1F=10/√3. SA1D1F=25/(2√3). D1N=2SH1D1F/A1F=25/10=5/2.
Оценка ответа на смысл. D1N=2,5 <DM=3. Проверим путем параллельного переноса D1N до пересечения с A1K.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 656 711 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кальченко Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.