Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Четыре замечательные точки треугольника
высоты
биссектрисы
серединные перпендикуляры
медианы
2 слайд
Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла
Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла
равноудалена от его сторон.
А
Х
М
В
С
Е
К
Дано: ВАС, АХ – биссектриса,
М є АХ, МЕ АВ, МК АС
Доказать: МЕ = МК
Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла –
множество точек плоскости,
равноудалённых от сторон этого угла.
3 слайд
Серединный перпендикуляр к отрезку
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от его концов.
Дано: АВ – отрезок,
РК – серединный перпендикуляр,
М є РК
Доказать: МА = МВ
А
В
Р
К
М
Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на
серединном перпендикуляре к нему.
Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку –
множество точек плоскости,
равноудалённых от его концов.
4 слайд
Первая замечательная точка
треугольника
Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы,
О - точка их пересечения
Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ
Доказательство:
АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС,
значит, ОМ = ОК
ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = ОP
Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно,
О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС.
Е
Т
А
В
С
О
У
Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.
К
М
Р
5 слайд
Вторая замечательная точка
треугольника
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
Дано: АВС, k,n – серединные
перпендикуляры к сторонам
треугольника,
О – точка их пересечения
Доказать: р – серединный
перпендикуляр к ВС, О є р
Доказательство:
n – серединный перпендикуляр к АС и О є n, значит, ОА = ОС.
k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ.
Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном
перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р.
Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p.
А
В
С
k
n
p
О
6 слайд
Вторая замечательная точка
треугольника (продолжение)
Ещё возможное расположение:
7 слайд
Третья замечательная точка
треугольника
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от
вершины.
(центр тяжести треугольника – центроид)
А
В
С
М
К
Р
О
Дано: АВС, AM,ВК,СР - медианы
Доказать: АМ ВК СР = О
Доказательство проведено ранее:
задача 1 п. 62.
8 слайд
Четвёртая замечательная точка
треугольника
Теорема. Высоты треугольника или их продолжения
пересекаются в одной точке(ортоцентр).
Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.
Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты
М
А
С(К,Н,О)
В
А
В
С
Н
М
К
О
В
С
А
Н
К
М
О
9 слайд
Доказательство:
А
В
С
К
М
Н
О
Получим:
АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ
Е
Т
У
АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ
Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ.
Т.к. ВН – высота АВС по условию, то ВН АС
Т. к. ЕТ АС по построению, значит, ВН ЕТ
Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ.
Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУ
и АК - серединный перпендикуляр к УЕ.
Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ,
проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ.
Через вершины В, А, С треугольника АВС
которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке,
значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.
10 слайд
Задача № 680.
А
В
С
D
К
М
Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB,
AK = KC, DK AC, D є BC.
Доказать: D - середина ВС,
А = В + С.
Доказательство:
AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC
BD = DC,
следовательно, D – середина ВС.
АМ = ВМ, МD AB,
D є BC по условию, значит, ВD = AD
а)
б) По доказанному
ВD = AD
AD = DC, значит, треугольники АВD
и
и АСD – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С.
1
2
ВАС = 1 + 2 = В + С, что и т. д.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 656 151 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Абдулкадырова Салимат Камиловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Мини-курс
7 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.