Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Граф и его элементы
Основные определения
2 слайд
Переход по слайдам осуществляется только по нажатию левой кнопки мыши клик мыши!!!
Если есть мигающая стрелка, значит нужно нажатие левой кнопки мыши в любом месте слайд для продолжения презентации!!!!
После прочтения удалить слайд!
3 слайд
ГРАФОМ G = (V, X) НАЗЫВАЕТСЯ ПАРА ДВУХ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ: МНОЖЕСТВО ТОЧЕК И МНОЖЕСТВО ЛИНИЙ, СОЕДИНЯЮЩИХ НЕКОТОРЫЕ ПАРЫ ТОЧЕК.
Впервые понятие «граф» ввел в 1936 г. венгерский математик Денни Кёниг. но первая работа по теории графов принадлежала перу великого Леонарда Эйлера и была написана еще в 1736 г.
4 слайд
ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ВЕРШИНАМИ, ИЛИ УЗЛАМИ, ГРАФА, ЛИНИИ – РЕБРАМИ ГРАФА.
ПРИМЕРЫ ГРАФОВ
G
H
E
C
D
F
A
B
C
A
B
a
b
c
d
e
A
B
C
D
E
u
p
s
t
r
q
5 слайд
ЕСЛИ РЕБРО ГРАФА СОЕДИНЯЕТ ДВЕ ЕГО ВЕРШИНЫ, ТО ГОВОРЯТ, ЧТО ЭТО РЕБРО ИМ ИНЦИДЕНТНО. ДВЕ ВЕРШИНЫ ГРАФА НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ИНЦИДЕНТНОЕ ИМ РЕБРО.
C
A
B
a
b
c
d
e
НА РИСУНКЕ СМЕЖНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ ВЕРШИНЫ A и B, A и C; СМЕЖНЫМИ ЯВЛЯЮТСЯ РЕБРА c и d, a и b.
ЕСЛИ ГРАФ ИМЕЕТ РЕБРО, У КОТОРОГО НАЧАЛО И КОНЕЦ СОВПАДАЮТ, ТО ЭТО РЕБРО НАЗЫВАЕТСЯ ПЕТЛЕЙ (у графа петля – q(C,C)).
B
D
A
C
E
u
p
s
t
r
q
ДВА РЕБРА НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, ЕСЛИ ОНИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ВЕРШИНУ.
6 слайд
C
A
B
a
b
c
d
e
КРАТНЫЕ РЕБРА
ЧИСЛО РЕБЕР, ИНЦИДЕНТНЫХ ВЕРШИНЕ A , НАЗЫВАЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ЭТОЙ ВЕРШИНЫ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ deg(A).
A
B
C
D
E
u
p
s
t
r
q
deg(A)= 3; deg(B) = 3; deg(C) = 4; deg(D) = 2; deg(E) = 0.
ЕСЛИ ВЕРШИНЕ ИНЦИДЕНТНА ПЕТЛЯ, ОНА ДАЕТ ВКЛАД В СТЕПЕНЬ, РАВНЫЙ ДВУМ, ТАК КАК ОБА КОНЦА ПРИХОДЯТ В ЭТУ ВЕРШИНУ.
7 слайд
A
B
C
D
E
u
p
s
t
r
q
deg(E) = 0
E – ИЗОЛИРОВАННАЯ ВЕРШИНА
G
H
E
C
D
F
A
B
deg(G) = 1
deg(H) = 1
deg(E) = 1
deg(B) = 1
deg(A) = 1
G, H, E, B, A - ВИСЯЧИЕ ВЕРШИНЫ
8 слайд
ТЕОРЕМА
В ГРАФЕ G(V, X) СУММА СТЕПЕНЕЙ ВСЕХ ЕГО ВЕРШИН – ЧИСЛО ЧЕТНОЕ, РАВНОЕ УДВОЕННОМУ ЧИСЛУ РЕБЕР ГРАФА:
ТЕОРЕМА
ЧИСЛО НЕЧЕТНЫХ ВЕРШИН ЛЮБОГО ГРАФА – ЧЕТНО.
СЛЕДСТВИЕ
НЕВОЗМОЖНО НАЧЕРТИТЬ ГРАФ С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ НЕЧЕТНЫХ ВЕРШИН.
ВЕРШИНА НАЗЫВАЕТСЯ ЧЕТНОЙ (НЕЧЕТНОЙ), ЕСЛИ ЕЕ СТЕПЕНЬ – ЧЕТНОЕ(НЕЧЕТНОЕ) ЧИСЛО.
9 слайд
ГРАФ НАЗЫВАЕТСЯ ПОЛНЫМ, ЕСЛИ ЛЮБЫЕ ДВЕ ЕГО РАЗЛИЧНЫЕ ВЕРШИНЫ СОЕДИНЕНЫ ОДНИМ И ТОЛЬКО ОДНИМ РЕБРОМ.
ДОПОЛНЕНИЕМ ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ГРАФ С ТЕМИ ЖЕ ВЕРШИНАМИ И ИМЕЮЩИЙ ТЕ И ТОЛЬКО ТЕ РЕБРА, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ДОБАВИТЬ К ИСХОДНОМУ ГРАФУ, ЧТОБЫ ОН СТАЛ ПОЛНЫМ.
ДОПОЛНЕНИЕ
10 слайд
A
B
C
u
t
s
r
ДУГИ
НАЧАЛО ДУГИ (A,B)
КОНЕЦ ДУГИ
(A,B)
СТЕПЕНЬЮ ВХОДА (ВЫХОДА) ВЕРШИНЫ ОРГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО РЕБЕР, ДЛЯ КОТОРЫХ ЭТА ВЕРШИНА ЯВЛЯЕТСЯ КОНЦОМ (НАЧАЛОМ).
СТЕПЕНИ ВХОДА ВЕРШИН ГРАФА (см. рис.):
СТЕПЕНИ ВЫХОДА ВЕРШИН:
ОРГРАФ
ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ (ОРГРАФ) — ГРАФ, РЁБРАМ КОТОРОГО ПРИСВОЕНО НАПРАВЛЕНИЕ. НАПРАВЛЕННЫЕ РЁБРА ИМЕНУЮТСЯ ДУГАМИ.
11 слайд
Последовательность ребер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом.
Число ребер маршрута называется длиной маршрута.
G
H
E
C
D
F
A
B
HCDFD – МАРШРУТ ДЛИНОЙ 4.
12 слайд
Если начальная вершина маршрута совпадает с конечной, то такой маршрут называется замкнутым или циклом.
Если ребро встретилось только один раз, то маршрут называется цепью.
A
B
C
D
E
u
p
s
t
r
q
(t, s, p, r) – 4-ЦИКЛ
(t, s, u, r, t, s, p, r) – 8-ЦИКЛ
петля (q) – 1-ЦИКЛ
(t, s, p) – 3-ЦЕПЬ
13 слайд
совпадает с началом следующего и все ребра единственны.
ЦИКЛ В ОРГРАФЕ – ПУТЬ, У КОТОРОГО СОВПАДАЮТ НАЧАЛО И КОНЕЦ.
A
B
C
u
t
s
r
(u, s, r, t) – 4-путь
(r, u) – 2-путь
(s, r, t) и (u, s, r) – 3-циклы
Путь – упорядоченная последовательность ребер ориентированного графа, в которой конец предыдущего ребра
14 слайд
ЦЕПЬ, ПУТЬ И ЦИКЛ В ГРАФЕ НАЗЫВАЮТСЯ ПРОСТЫМИ, ЕСЛИ ОНИ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЛЮБУЮ ИЗ ВЕРШИН НЕ БОЛЕЕ ОДНОГО РАЗА.
НЕОРИЕНТИРОВАННЫЙ ГРАФ НАЗЫВАЕТСЯ СВЯЗНЫМ, ЕСЛИ МЕЖДУ ЛЮБЫМИ ДВУМЯ ЕГО ВЕРШИНАМИ ЕСТЬ МАРШРУТ.
ТЕОРЕМА
ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ СВЯЗНЫЙ ГРАФ ЯВЛЯЛСЯ ПРОСТЫМ ЦИКЛОМ, НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, ЧТОБЫ КАЖДАЯ ЕГО ВЕРШИНА ИМЕЛА СТЕПЕНЬ, РАВНУЮ 2.
15 слайд
ГРАФ G НАЗЫВАЕТСЯ ПЛАНАРНЫМ (ПЛОСКИМ), ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ТАКОЙ ГРАФ G' , В ИЗОБРАЖЕНИИ КОТОРОГО НА ПЛОСКОСТИ РЕБРА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ТОЛЬКО В ВЕРШИНАХ.
C
A
B
a
b
c
d
e
G
H
E
C
D
F
A
B
ПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ
16 слайд
ЭЙЛЕРОВЫМ ПУТЕМ (ЦИКЛОМ) ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ПУТЬ (ЦИКЛ), КОТОРЫЙ СОДЕРЖИТ ВСЕ РЕБРА ГРАФА ТОЛЬКО ОДИН РАЗ.
ГРАФ, ОБЛАДАЮЩИЙ ЭЙЛЕРОВЫМ ЦИКЛОМ, НАЗЫВАЕТСЯ ЭЙЛЕРОВЫМ.
ТЕОРЕМА
ГРАФ ЯВЛЯЕТСЯ ЭЙЛЕРОВЫМ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОН – СВЯЗНЫЙ ГРАФ, ИМЕЮЩИЙ ВСЕ ЧЕТНЫЕ ВЕРШИНЫ.
17 слайд
ГАМИЛЬТОНОВЫМ ПУТЕМ(ЦИКЛОМ) ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ПУТЬ(ЦИКЛ), ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ КАЖДУЮ ЕГО ВЕРШИНУ ТОЛЬКО ОДИН РАЗ.
ГРАФ, СОДЕРЖАЩИЙ ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ, НАЗЫВАЕТСЯ ГАМИЛЬТОНОВЫМ.
A
B
C
D
E
(C, D, A, B, E) – гамильтонов путь
18 слайд
МАТРИЦЕЙ ИНЦИДЕНТНОСТИ ГРАФА G НАЗЫВАЮТ ТАБЛИЦУ B, СОСТОЯЩУЮ ИЗ n СТРОК(ВЕРШИНЫ) И m СТОЛБЦОВ(РЕБРА), В КОТОРОЙ:
bij = 1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vj ИНЦИДЕНТНА РЕБРУ Xj
bij = 0, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vi ИНЦИДЕНТНА РЕБРУ Xi
ДЛЯ ОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА:
ДЛЯ НЕОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА:
bij = 1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vi ЯВЛЯЕТСЯ НАЧАЛОМ ДУГИ Xj
bij = 1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vj НЕ ИНЦИДЕНТНА ДУГЕ Xj
bij = -1, ЕСЛИ ВЕРШИНА Vi ЯВЛЯЕТСЯ КОНЦОМ ДУГИ Xj
19 слайд
МАТРИЦЕЙ СМЕЖНОСТИ ГРАФА G(V,X) БЕЗ КРАТНЫХ РЕБЕР НАЗЫВАЮТ КВАДРАТНУЮ МАТРИЦУ A ПОРЯДКА n, В КОТОРОЙ:
aij = 1, ЕСЛИ (Vi, Vj) X
aij = 0, ЕСЛИ (Vi, Vj) X
20 слайд
СЛЕДУЮЩИЙ ОРГРАФ ЗАДАЕТСЯ ТАБЛИЦЕЙ ИНЦИДЕНТНОСТИ:
A
B
C
u
t
s
r
21 слайд
СЛЕДУЮЩИЙ ГРАФ ЗАДАЕТСЯ ТАБЛИЦЕЙ ИНЦИДЕНТНОСТИ:
A
B
C
D
E
u
s
t
r
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 659 991 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Сироткина Анна Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.