Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Оглавление
Квадратное уравнение и его корни.
Неполные квадратные уравнения.
Приведенное квадратное уравнение.
Теорема Виета.
Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Решение задач с помощью квадратных
уравнений.
Задания для самостоятельной работы.
2 слайд
Квадратным уравнением называется уравнение ax²+bx+c=0, где a, b, c – заданные числа, a≠0, x -неизвестное.
Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a – первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, c – свободным членом.
Например, в уравнении 3х²-х+2=0 старший (первый) коэффициент а=3, второй коэффициент b=-1, а свободный член c=2.
Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению квадратных уравнений:
2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0.
При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2x²+3x=x²+2x+2 после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению x²+x-2=0.
3 слайд
Рассмотрим уравнение общего вида: ax²+bx+c=0, где a≠0.
Корни уравнения находят по формуле:
Выражение
называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней; если D=0, то уравнение имеет один действительный корень; если D>0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D=0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
4 слайд
Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих видов:
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
5 слайд
Квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице: a=1.
Корни приведенного квадратного уравнения находятся по формуле:
Этой формулой удобно пользоваться, когда p – четное число.
Пример: Решить уравнение x2-14x-15=0. По формуле находим:
Ответ: x1=15, x2=-1.
6 слайд
Франсуа Виет?
Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1+x2=-p, x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).
Исследование связи между корнями
и коэффициентами квадратного уравнения.
7 слайд
Утверждение №1:
Пусть х1 и х2 – корни уравнения
х2+pх+q=0.
Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами:
x1 +х2 = - p, х1 х2 =q
Утверждение № 2:
Пусть числа х1, х2, p, q связаны равенствами х1+х2 = - p, х1 х2 =q.
Тогда х1 и х2 – корни уравнения
х2+pх+q=0
Следствие: х2+pх+q=(х-х1 )(х-х2).
Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета.
Проверка правильности найденных корней.
Определение знаков корней квадратного уравнения.
Устное нахождение целых корней приведенного квадратного
уравнения.
Составление квадратных уравнений с заданными корнями.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
8 слайд
Биквадратные уравнения
Биквадратным называется уравнение вида , где a≠0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , получим квадратное уравнение
Пример: Решить уравнение
x4+4x2-21=0
Положив x2=t, получим квадратное уравнение t2+4t -21=0, откуда находим t1= -7, t2=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3.
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим:
которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.
9 слайд
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Задача 1:
Автобус отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 минут вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.
На 10 мин
10 мин =
ч
Составим и решим уравнение:
10 слайд
Умножим обе части уравнения на 6x(x+20), получим:
Корни этого уравнения:
При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому являются корнями уравнения. Так как скорость автобуса положительна, то условию задачи удовлетворяет только один корень: x=60. Поэтому скорость такси 80 км/ч.
Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.
11 слайд
Задача 2:
На перепечатку рукописи первая машинистка тратит на 3 ч меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили перепечатку всей рукописи за 6ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи?
Вместе
за 6ч 40мин
6 ч 40 мин = 6 ч
Составим и решим уравнение:
12 слайд
Это уравнение можно записать следующим образом:
Умножая обе части уравнения на 20x(x+3), получаем:
Корни этого уравнения:
При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в
уравнение, не равны 0, поэтому - корни
уравнения. Так как время положительно, то x=12ч. Следовательно
Первая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая – 12 ч + 3 ч = 15 ч
Ответ:12 ч и 15 ч.
13 слайд
Задания для самостоятельной работы:
7.Найти два последовательных натуральных
числа, произведение которых равно 210.
14 слайд
Желаем удачи!!!
15 слайд
Франсуа Виет
Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.
Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой.
В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.
Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 665 064 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Плахова Лариса Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.