Подобие в геометрии подобные треугольники

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ
  ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
  8 класс
  

• 

  2 слайд

  ТЕМА «ПОДОБИЕ»
  Теоретический материал.
  
  Задачи.
  

• 

  3 слайд

  ПЛАН
  Пропорциональные отрезки.
  Свойство биссектрисы треугольника.
  Определение подобных треугольников.
  Отношение периметров подобных фигур.
  Отношение площадей подобных фигур.
  Признаки подобия треугольников.
  

• 

  4 слайд

  ЗАДАЧИ
  Разминка.
  
  Решение задач.
  
  Задачи на признаки подобия.
  
  Тест
  
  

• 

  5 слайд

  Пропорциональные отрезки
  Отношением отрезков называется отношение их длин.
  
  Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1,, если
  A
  B
  C
  D
  A
  B
  С
  D
  A1
  B1
  С1
  D1
  ПРИМЕР
  

• 

  6 слайд

  ПРИМЕР
  Даны два прямоугольных треугольника
  5
  20
  15
  ?
  3
  4
  A
  C
  B
  N
  M
  K
  Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK, так как
  т.е.
  и
  НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.
  

• 

  7 слайд

  Пропорциональность отрезков
  Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков.
  5
  20
  15
  25
  3
  4
  A
  C
  B
  N
  M
  K
  например
  

• 

  8 слайд

  Подобные фигуры
  Предметы одинаковой формы, но разных размеров
  Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями;
  Здание и его макет
  Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.
  

• 

  9 слайд

  Подобные фигуры
  В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами
  Подобными являются любые два квадрата
  Подобными являются любые два круга
  два куба
  два шара
  

• 

  10 слайд

  Подобные треугольники
  Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1,
  у которых A = A1, Β = Β1, C = C1.
  Стороны AΒ и A1Β1 , AC и A1C1 , ΒC и Β1C1, лежащие против равных углов, называют сходственными
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  

• 

  11 слайд

  Определение
  Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  A = A1, Β = Β1, C = C1.
  ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
  

• 

  12 слайд

  Коэффициент подобия
  Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
  k – коэффициент подобия.
  

• 

  13 слайд

  Дополнительные свойства
  Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
  Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
  Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
  

• 

  14 слайд

  Отношение периметров
  Отношение периметров подобных треугольников равно
  коэффициенту подобия.
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
  

• 

  15 слайд

  Отношение периметров
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
  Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.
  

• 

  16 слайд

  Отношение площадей
  Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
  

• 

  17 слайд

  Отношение площадей
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  Пусть ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1,
  коэффициент подобия k
  A = A1, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем
  

• 

  18 слайд

  Свойство биссектрисы треугольника
  C
  B
  A
  Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
  D
  или
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
  ПРИМЕР
  

• 

  19 слайд

  Свойство биссектрисы треугольника
  ΔABD и ΔACD имеют общую высоту AH
  
  
  ΔABD и ΔACD имеют равные углы 1 = 2
  
  
  A
  H
  D
  C
  B
  1
  2
  ИМЕЕМ
  

• 

  20 слайд

  Свойство биссектрисы треугольника
  Дано: ΔABC
  AD – биссектриса
  AB = 14 см
  BC = 20 см
  AC = 21 см
  Найти: BD,CD.
  Решение:
  B
  A
  C
  D
  1
  2
  14см
  21см
  20см
  

• 

  21 слайд

  Свойство биссектрисы треугольника
  Решение:
  Пусть BD = x см,
  тогда CD = (20 – x) см.
  По свойству биссектрисы треугольника
  имеем
  B
  A
  C
  D
  1
  2
  14см
  21см
  20см
  Решая уравнение, получим х = 8
  BD = 8 см, CD = 12 см.
  

• 

  22 слайд

  Признаки подобия треугольников
  Первый признак подобия треугольников.
  (по двум углам)
  Второй признак подобия треугольников.
  (по углу и двум пропорциональным сторонам)
  Третий признак подобия треугольников.
  (по трем пропорциональным сторонам)
  

• 

  23 слайд

  Первый признак подобия треугольников.
  Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  B
  C
  A
  B1
  A1
  C1
  

• 

  24 слайд

  Первый признак подобия треугольников.
  Дано:
  ΔABC и ΔA1B1C1, A =A1, B = B.
  Доказать:
  ΔABC ~ ΔA1B1C1
  Доказательство:
  B
  C
  A
  B1
  A1
  C1
  

• 

  25 слайд

  Первый признак подобия треугольников.
  Доказательство:
  A = A1, B = B1.
  C = 180º – A – B,
  C1 = 180º – A1 – B1.
  C = C1
  Таким образом углы треугольников соответственно равны.
  B
  C
  A
  B1
  A1
  C1
  

• 

  26 слайд

  Первый признак подобия треугольников.
  Доказательство:
  A = A1,
  B = B1.
  Имеем
  Аналогично, рассматривая равенство углов C=C1, A=A1, получим
  Итак, сходственные стороны пропорциональны.
  B
  C
  A
  

• 

  27 слайд

  Второй признак подобия треугольников.
  Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  C
  Β
  A
  Β1
  C1
  A1
  A = A1
  

• 

  28 слайд

  Второй признак подобия треугольников.
  Дано:
  ΔABC и ΔA1B1C1,
  A =A1,
  Доказать:
  ΔABC ~ ΔA1B1C1
  Доказательство:
  C
  Β
  A
  Β1
  C1
  A1
  

• 

  29 слайд

  Второй признак подобия треугольников.
  Доказательство:
  Достаточно доказать, что B = B1.
  ΔABC2, 1=A1, 2=B1,
  ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам.
  (из подобия).
  По условию
  AC=AC2.
  ΔABC=ΔABC2, т.е. B = B1.
  C1
  B1
  A1
  B
  С
  A
  С2
  1
  2
  

• 

  30 слайд

  Третий признак подобия треугольников.
  Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  

• 

  31 слайд

  Третий признак подобия треугольников.
  Дано:
  ΔABC и ΔA1B1C1,
  
  
  
  Доказать:
  ΔABC ~ ΔA1B1C1
  Доказательство:
  C
  Β
  A
  C1
  A1
  Β1
  

• 

  32 слайд

  Третий признак подобия треугольников.
  Доказательство:
  Достаточно доказать, что A=A1
  ΔABC2, 1=A1, 2=B1,
  ΔABC2 ~ ΔA1B1C1 по двум углам.
  Отсюда
  По условию
  
  ΔABC=ΔABC2 по трем сторонам, т.е. A = A1
  C1
  A1
  Β1
  B
  С
  A
  С2
  1
  2
  

• 

  33 слайд

  Разминка
  1
  Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK.
  Найдите MN,
  если AB = 3, CD = 4, PK = 2.
  MN = 1,5
  

• 

  34 слайд

  Разминка
  2
  Даны два подобных прямоугольных треугольника.
  Коэффициент подобия 1,5
  Стороны одного из них 3, 4 и 5.
  Найдите гипотенузу другого.
  7,5
  5 · 1,5 = 7,5
  

• 

  35 слайд

  Разминка
  3
  По данным на рисунке найдите х.
  12
  х
  5
  4
  х = 15
  

• 

  36 слайд

  Разминка
  4
  Длины двух окружностей 2π и 8π.
  Найдите отношение их радиусов.
  0,25
  2π : 8π = 1 : 4
  

• 

  37 слайд

  Разминка
  5
  Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1.
  Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2.
  6
  k2 = 9, k = 3
  Коэффициент подобия
  3 · 2 = 6
  сторона большего квадрата
  

• 

  38 слайд

  Решение задач
  1
  7
  13
  4
  8
  11
  15
  14
  5
  2
  3
  12
  9
  6
  10
  

• 

  39 слайд

  1 задача
  Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN.
  Найдите EF,
  если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.
  

• 

  40 слайд

  4 задача
  В треугольнике АВС
  АС = 6 см,
  ВС = 7 см,
  AB = 8 см,
  BD – биссектриса. Найдите, AD, CD.
  A
  B
  C
  D
  1
  2
  7
  8
  

• 

  41 слайд

  7 задача
  Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см
  подобен треугольнику
  со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см.
  Найдите коэффициент подобия.
  

• 

  42 слайд

  10 задача
  Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3.
  Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.
  

• 

  43 слайд

  13 задача
  ΔABC ~ ΔA1B1C1 ,
  AB : A1B1 = k = 4
  SΔABC= 48 м2.
  Найдите площадь треугольника A1B1C1 .
  

• 

  44 слайд

  2 задача
  В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, CD = 10 см.
  Найдите периметр параллелограмма, если
  A
  D
  C
  B
  O
  10
  

• 

  45 слайд

  5 задача
  Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм,
  а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника
  M
  A
  C
  B
  12
  18
  

• 

  46 слайд

  8 задача
  Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем
  F = 20°, E = 40°.
  Найдите остальные углы этих треугольников.
  T
  E
  M
  40°
  F
  P
  K
  20°
  

• 

  47 слайд

  11 задача
  Периметры подобных треугольников
  12 мм и 108 мм соответственно.
  Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм.
  Найдите стороны другого и
  определите его вид.
  

• 

  48 слайд

  14 задача
  Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2.
  Одна из сторон первого треугольника равна 2 см.
  Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.
  

• 

  49 слайд

  В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся
  как 1 : 3,
  ВС = 10 см. Найдите AC , если
  3 задача
  .
  .
  A
  K
  C
  B
  10
  

• 

  50 слайд

  6 задача
  A
  B
  C
  D
  1
  2
  5
  4
  AD = 4
  BC = 5
  AB + DC = 12
  Найти AB, DC, AC
  

• 

  51 слайд

  9 задача
  На рисунке
  ΔВЕС ~ ΔАВС,
  АЕ = 16 см,
  СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые.
  Найдите ВС.
  A
  B
  E
  C
  16
  9
  

• 

  52 слайд

  12 задача
  Масштаб плана 1 : 1000.
  Какова длина ограды участка,
  если на плане размеры
  прямоугольника,
  изображающего участок 2 см х 5 см.
  

• 

  53 слайд

  15 задача
  Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3,
  сумма их площадей равна 260 см2. Найдите площадь каждого треугольника.
  

• 

  54 слайд

  ЗАДАЧИ
  1.
  Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.
  Решение:
  

• 

  55 слайд

  Решение
  Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC:
  1=2 (накрест лежащие при AD || BC, и секущей AC;
  3=4 (вертикальные)
  ΔAOD ~ ΔBOC (по двум углам)
  
  = k
  A
  B
  C
  D
  O
  1
  2
  4
  3
  

• 

  56 слайд

  Решение
  .
  
  k = 3
  AD + BC =
  = 3BC + BC = 4BC
  AD + BC = 4,8см
  (по условию)
  BC = 1,2 см
  AD = 3,6 см
  A
  B
  C
  D
  O
  1
  2
  4
  3
  Ответ: BC = 1,2 см AD = 3,6 см
  

• 

  57 слайд

  ЗАДАЧИ
  2.
  Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF.
  2,5
  A
  B
  E
  C
  
  D
  F
  10
  4
  20
  16
  5
  Решение:
  

• 

  58 слайд

  Решение
  Отсюда
  
  
  ΔABC~ΔDEF
  по трем пропорциональным сторонам
  2,5
  A
  B
  E
  C
  
  D
  F
  10
  4
  20
  16
  5
  Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников
  
  

• 

  59 слайд

  Решение
  ΔABC~ΔDEF
  Соответственно
  A = E
  B = F
  ACB = EDF
  E
  .
  Рассмотрим прямые BC и DF,
  секущую AE
  1 = 2
  (внешние накрест лежащие)
  
  BC || DF.
  
  A
  B
  C
  D
  F
  1
  2
  

• 

  60 слайд

  ЗАДАЧИ
  3.
  Отрезки AB и CD пересекаются
  в точке O, причем .
  Докажите, что CBO = DAO.
  Решение:
  

• 

  61 слайд

  Решение
  Рассмотрим ΔAOD и ΔCOB
  DOA = COB (вертикальные).
  .
  
  ΔAOD ~ ΔCOB по углу и двум пропорциональным сторонам.
  CBO = DAO (из подобия).
  A
  O
  C
  B
  D
  

• 

  62 слайд

  ЗАДАЧИ
  4. В треугольнике ABC
  AB = 4, BC = 6, AC = 7.
  Точка E лежит на стороне AB.
  Внутри треугольника взята точка M так,
  что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1.
  Прямая BM пересекает AC в точке P.
  Докажите, что ΔAPB равнобедренный.
  Решение:
  

• 

  63 слайд

  Решение
  .
  Рассмотрим ΔBEM и ΔABC
  BE = AB − AE = 4 – 1 = 3
  BE : AB = 3 : 4 = 0,75
  EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75
  BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75,
  т.е. стороны треугольников
  пропорциональны
  B
  E
  P
  C
  A
  M
  7
  6
  4
  4,5
  5,25
  1
  

• 

  64 слайд

  ΔBEM ~ ΔABC по трем пропорциональным сторонам.
  Следовательно, BME = AСB
  EBM = BAC
  BEM = ABC.
  
  Рассмотрим треугольник ABP:
  EBM = BAC, т.е. ABP = BAP.
  ΔABP – равнобедренный, что и требовалось доказать.
  Решение
  

• 

  65 слайд

  ЗАДАЧИ
  5.
  Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90.
  Середина M стороны AB соединена с вершиной D.
  Отрезок MD пересекает AC в точке O.
  Найдите отрезки AО и CО.
  Решение:
  

• 

  66 слайд

  Решение
  Рассмотрим
  ΔAOM и ΔCОD
  AOM = CОD (вертикальные),
  MAO =  ОCD (накрест лежащие при AB || DC и секущей AC).
  Отсюда ΔAOM ~ ΔCОD
  по двум углам.
  C
  M
  A
  O
  D
  B
  

• 

  67 слайд

  Решение
  .
  AM = ½ AB (по условию)
  AB = CD (ABCD - параллелограмм),
  AM : CD = 1 : 2
  C
  M
  A
  O
  D
  B
  ΔAOM ~ ΔCОD
  т.е. AO = 0,5CО
  AO = ⅓AC = ⅓·90 = 30
  CO = ⅔AC = ⅔·90 = 60
  

• 

  68 слайд

  ТЕСТ
  Решите задачи, отметьте нужные ячейки
  

• 

  69 слайд

  ТЕСТ
  1. По данным рисунка х равен
  
  А) 7
  Б) 14
  В) 3,5
  Г) 14/3
  7
  х
  

• 

  70 слайд

  ТЕСТ
  2) По данным рисунка периметр ΔABC равен
  
  А) 9
  Б) 27
  В) 36
  Г) 18
  2
  3
  4
  А
  В
  С
  

• 

  71 слайд

  ТЕСТ
  3) По данным рисунка отрезок BC равен
  
  А) 3,75
  Б) 7,5
  В) 5
  Г) 4,5
  А
  В
  С
  3
  3
  4
  0,5
  2,5
  

• 

  72 слайд

  ТЕСТ
  4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся
  
  А) 3 : 1
  Б) 9 : 1
  В) 6 : 1
  Г) 9 : 4
  A
  B
  E
  C
  D
  F
  12
  9
  4
  3
  18
  6
  

• 

  73 слайд

  ТЕСТ
  5) По данным рисунка прямые AB и DE
  
  А) нельзя ответить
  Б) пересекаются
  В) параллельны
  A
  B
  E
  C
  D
  F
  12
  9
  4
  3
  18
  6
  

• 

  74 слайд

  ТЕСТ
  ОТВЕТЫ:
  

• 

  75 слайд

  Помощь в управлении
  презентацией
  управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши
  переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку
  завершение презентации при нажатии кнопки выход
  Возврат в содержание
  Переход по слайдам
  Возврат к гиперссылке
  Справка