Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича (издательство «Мнемозина») является функционально-графическая линия. Иррациональные уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.
При этом иррациональные уравнения изучаются до введения иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.
В учебнике и задачнике для 10 – 11 классов содержится глава, посвященная методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только иррациональные уравнения нет.
А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.
У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным.
При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня.
Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики.
Урок в 11 классе по теме:
«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»
Цитата урока: (выписана на доске)
«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.
Цель:
· обобщение знаний учеников по данной теме;
· демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;
· показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;
· формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
· воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;
· повышение интереса к предмету.
Форма проведения: семинарское занятие.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Ход занятия:
Учитель:
Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.
На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.
1) 
 |
|||
 |
|||
Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.
Дайте определения иррационального уравнения.
Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)
I. Учитель:
На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.
Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.
При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.
II.Выступление учеников
1 ученик.
Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.
х + 
= 3х – 7
Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.
= 2х – 7
Возведём обе части уравнения в квадрат:
= 
Получаем:
х + 4 = 4
– 28х + 49
Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение
4 – 29х + 45 = 0
Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25
Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.
Если х = 5, то 
= 10 - 7
3 = 3 – верно
х = 5 – корень уравнения
Если х = 2,25, то 
= 4,5 - 7
2,5 = - 2,5 – неверно
х = 2,25 посторонний корень
Ответ: х = 5
Предлагаю решить в
классе уравнение: 
2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.
Пусть дано уравнение: 
- 
= 
– 
Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.
Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.
Область допустимых значений данного уравнения
определяется системой неравенств
<=> 
<=> х=2
Данное уравнение определено только при х = 2.
Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:
- 
= 
–
5 = 5 – верно.
Ответ: х = 2.
Попробуйте решить уравнение: 
= х - 2
3 ученик. Использование свойства монотонности функции.
Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:
Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.
Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.
Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.
Пример для изучения
Пусть дано уравнение: 
+
= 6
ОДЗ уравнения: х+6
0; х
Функции 
= и 
= 
являются возрастающими на промежутке [- 6; 
, поэтому функция у = + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно
принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение
имеет единственный корень.
Найдём этот корень подбором.
х = 2.
Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = 2.
Я предлагаю решить на уроке уравнение:
+
= 9 – 
Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.
Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.
Ответ: х = 1
4 ученик Метод введения новой перменной.
Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.
Пример для изучения:
Дано уравнение: 
+ 
= 
ОДЗ уравнения: х 
х 
Пусть 
, тогда 
Получаем
уравнение t + =
= 
= 2
Тогда
или 
Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем
; х = 
; х = 2
Ответ: х = ; х = 2
В классе я предлагаю решить уравнение: 
5 ученик Метод оценки частей уравнения.
Рассмотрим уравнение:
+
= 14х - 
Запишем уравнение в виде 
+ = -(
+49)
+ = - 
Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а
правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,
то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения
равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.
Для решения в классе предлагаю уравнение: 
+ 
= 0
III. Работа учеников в группах.
После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.
Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.
IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника
V/ Итог урока:
рефлексия
Вопросы рефлексии:
Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?
Получены ли новые знания и умения?
Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.
Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?
Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?
Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций. У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным. При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня или находить область определения уравнения. Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики. Привожу в качестве примера урок-семинар. На уроке рассматриваем различные способы решения иррациональных уравнения.
6 662 383 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Гусева Елена Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.