Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла.
Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск
2 слайд
Немного теории.
Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H].
H
x
Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.
3 слайд
Немного теории.
H
x
x
С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:
Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.
где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].
Sсеч.
4 слайд
Немного теории (базовые классы могут пропустить).
H
x
x
Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:
где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].
Sсеч.
5 слайд
I. Объем прямоугольного параллелепипеда
с высотой H и площадью основания S.
x
H
x[0;H]
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x
6 слайд
II. Объем прямой призмы
с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x
7 слайд
III. Объем n-угольной прямой призмы
с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x
8 слайд
IV. Объем наклонной призмы
с высотой H и площадью основания S.
Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x
H
x[0;H]
0
x
9 слайд
V. Объем треугольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.
H
x
x[0;H]
x
Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.:
0
10 слайд
VI. Объем n-угольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.
H
x
Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.:
x
x[0;H]
0
11 слайд
VII. Объем усеченной пирамиды.
текст
12 слайд
VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
x
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
13 слайд
IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
x
Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.:
0
14 слайд
X. Объем усеченного конуса.
текст
15 слайд
XI. Объем шара с радиусом R.
Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где:
R
x
Значит, объем всего шара равен:
x
0
r
16 слайд
XII. Объем шарового сегмента.
Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R –h :
r
R
h
x
h
r
Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!
17 слайд
XIII. Объем шарового слоя.
текст
18 слайд
XIV. Объем шарового сектора.
текст
h
r
R
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 626 146 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Филипович Александра Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.