Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Теория вероятности и математическая статистика
Лектор -
Гусева Валентина Борисовна
доц. кафедры информатики
и математики
к.307.
2 слайд
Список литературы
Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики: учебно-справочное пособие для бакалавров. М.: Юрайт, 2012.
Н.Ш. Кремер.Теория вероятности и математическая статистика.
3. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика.
3 слайд
Электронные материалы
Y:\_Teachers\Guseva\ТВиМС
4 слайд
1. Введение. Основные определения.
5 слайд
1.1 Случайная величина. Закон распределения случайной величины.
6 слайд
В данном курсе мы учимся работать с новым типом математических величин – случайными величинами.
Случайная величина – это математическая величина, принимающая одно из своих возможных значений случайным образом.
Для обозначения случайных величин используют большие латинские буквы.
Пример: X – случайная величина, равная оценке студента на экзамене по статистике, или оценка.
7 слайд
Закон распределения случайной величины содержит информацию о том, какие значения величина может принимать и насколько эти значения вероятны.
Если значения представлены отдельными числами (случайная величина является дискретной) закон распределения задается в виде таблицы.
8 слайд
В верхней строке таблицы указывают возможные значения величины, в нижней строке - вероятности реализации этих значений.
Когда случайная величина принимает одно из возможных значений, этот факт можно рассматривать как наступление указанного события, обладающего определенной вероятностью.
Под вероятностью события понимают количественную меру возможности наступления этого события.
9 слайд
Если случайная величина может принимать непрерывный ряд значений (случайная величина является непрерывной) закон распределения задается с помощью функции f(x), зависящей от принятого значения x. Чаще всего, для описания поведения такой величины используется функция, которая называется плотностью вероятности.
10 слайд
Вероятность того, что непрерывно распределенная случайная величина примет конкретное значение, всегда равна 0.
P(X=x0)=0. Для обозначения вероятности события используют букву P, в скобках принято указывать событие, которому соответствует приведенная вероятность.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, лежащее в заданном интервале, равна определенному интегралу от плотности вероятности на заданном интервале.
11 слайд
Пример: Равномерное распределение случайной величины X , принимающей значения в интервале от a до b . Площадь закрашенной фигуры - вероятность того, что значение случайной величины лежит в интервале от x1 до x2.
12 слайд
Чтобы перейти от непрерывного к дискретному распределению, достаточно разбить всю область изменения X на смежные интервалы и рассчитать вероятности для этих интервалов, взяв их в качестве pi. В качестве значений xi можно взять середины интервалов.
13 слайд
Совместное распределение случайных величин
14 слайд
Связь между случайными величинами можно описать, задав закон их совместного распределения.
Для дискретных величин X и Y такой закон задается в виде таблицы вероятностей,
для непрерывных – в виде плотности вероятности совместного распределения f(x, y).
15 слайд
Связь между случайными величинами не обязательно должна быть функциональной. Она может иметь статистический (стохастический) характер.
16 слайд
Функция случайной величины
17 слайд
Если каждому значению x случайной величины X поставить в соответствие значение z=(x), мы построим новую случайную величину Z, которая является функцией исходной случайной величины X и обозначается Z=(X).
18 слайд
Вероятности , соответствующие значениям z и x, могут не совпадать, так как разным значениям x может соответствовать одно и то же значение z.
19 слайд
Случайная величина Z может являться функцией нескольких случайных величин, если ее значения вычисляются как функция возможных значений исходных величин.
Z = (X, Y), если каждой возможной паре значений x и y ставится в соответствие значение z=(x, y).
20 слайд
При построении функции нескольких случайных величин в качестве значений итоговой величины в закон распределения включаются все возможные значения функции, полученные из комбинации исходных случайных величин. Информация о вероятности этих значений берется из закона совместного распределения.
Задача: Задав произвольно значения вероятностей pij, найдите закон распределения для случайной величины Z=X+Y, Z=XY, используя таблицы слайда 15
21 слайд
Для работы со случайными величинами удобно использовать ряд параметров, которые позволяют извлечь из законов распределения наиболее важную информацию. Это математическое ожидание, дисперсия и коэффициент корреляции.
22 слайд
1.2. Характеристики случайных величин
23 слайд
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Математическое ожидание M(X) характеризует некий средний уровень значений случайной величины X.
Дисперсия D(X) и среднеквадратичное отклонение (X) (корень квадратный из дисперсии) – степень разброса отдельных значений величины X относительно этого уровня.
24 слайд
Задача.
Вероятность выиграть в лотерею 100 рублей (единственный приз) равна 0.001, вероятность ничего не выиграть равна 0.999. Найдите математическое ожидание выигрыша, если билет стоит 1 рубль.
25 слайд
.
26 слайд
27 слайд
28 слайд
29 слайд
Важной характеристикой степени связи между случайными величинами являются ковариация и коэффициент корреляции.
Для дискретных случайных величин X и Y
30 слайд
Коэффициент корреляции представляет собой ковариацию нормированных случайных величин.
Здесь
- нормированные случайные величины. Коэффициент корреляции может принимать значения в диапазоне от -1 до 1. Если он равен 0, это может означать, что связь между величинами отсутствует, если он равен по модулю 1, то связь между величинами X и Y является функциональной.
31 слайд
1.3. Связь между теорией вероятности и статистикой
32 слайд
Собирая статистические данные, мы получаем информацию о случайных величинах (и их законах распределения) опытным путем. Полученные таким образом статистические законы распределения (ряды распределения) также принято представлять в виде таблиц. В этих таблицах приводятся наблюдаемые значения случайной величины (в виде дискретных чисел или в виде интервалов, в зависимости от вида величины) и доля (процент) случаев, в которых наблюдалось данное значение.
Случайные величины в статистике называют признаками, поскольку они характеризуют изучаемые свойства (признаки) объектов статистической совокупности.
33 слайд
В приведенной таблице величины аi задают границы интервалов в которых лежат значения исследуемого признака (xi – середины интервалов), а wi – доли объектов рассматриваемой статистической совокупности с величиной признака в указанном интервале.
34 слайд
При обработке статистических данных на основе полученного эмпирического закона распределения признака вычисляют такие параметры как среднее значение и дисперсия.
35 слайд
Из теоремы Бернулли (закона больших чисел)
следует, что наилучшей статистической оценкой для вероятности p события, которое может произойти в испытании, является доля w=m/n успешных испытаний (тех, в которых это событие произошло) в серии из n испытаний.
p w
при достаточно большом числе наблюдений n.
36 слайд
Из теоремы Чебышева
следует, что наилучшей оценкой для математического ожидания случайной величины является ее среднее значение.
37 слайд
2. Вычисление вероятности событий.
38 слайд
Испытание, исходы испытания
Испытание – совершение определенных действий, в результате которых возможно появление различных случайных событий.
Исход испытания – случайное событие, которое может произойти в результате проведения испытания. Множество исходов испытания – множество, состоящее из событий, являющихся исходами испытания.
Элементарный исход испытания – случайное событие, которое нельзя представить в виде комбинации более простых исходов испытания
39 слайд
Полная группа событий
Если случайные события являются взаимоисключающими и в совокупности описывают все возможные исходы испытания, они образуют полную группу событий.
Пример:
Рассмотрим множество элементарных исходов испытания, состоящего в бросании игральной кости
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Эти события образуют полную группу
40 слайд
Вероятность, случайное событие
Вероятность - количественная мера возможности наступления события.
Если событие A может как произойти (наступить), так и не произойти в ходе испытания, оно называется случайным. Вероятность случайного события A обозначается P(A).
41 слайд
Случайная величина.
С каждым (или несколькими сразу) исходами испытания свяжем определенное число. Тогда вероятности разных исходов испытания, одновременно являются вероятностями появления указанных чисел. Все эти числа образуют множество значений некоторой случайной величины.
Случайная величина X - величина, которая в результате испытания случайным образом принимает одно из множества своих возможных значений .
42 слайд
Закон распределения случайной величины содержит информацию о том, какие значения величина может принимать в результате испытания и какие вероятности соответствуют ее различным значениям.
43 слайд
Пример: Закон распределения случайной величины X – числа очков, выпавших при броске игральной кости
44 слайд
Статистическое определение вероятности.
Вероятность события оценивается на основе доли тех
испытаний серии, в которых событие произошло.
45 слайд
Классическое определение вероятности.
Вероятность события равна доле элементарных исходов
испытания, при которых событие наступает.
46 слайд
При непосредственном расчете вероятности в соответствии с классическим определением могут оказаться полезными следующие формулы комбинаторики:
Формула для подсчета числа размещений
Формула для подсчета числа перестановок
Формула для подсчета числа сочетаний
47 слайд
Размещения.
48 слайд
Перестановки
49 слайд
Сочетания:
50 слайд
Определение вероятности с помощью теории множеств.
Вероятность события равна сумме вероятностей
элементарных исходов испытания, при которых данное
событие наступает.
51 слайд
Геометрическое определение вероятности.
Вероятность определяется отношением геометрических показателей, характеризующих область наступления события и область всех возможных исходов испытания.
52 слайд
Рассмотрим испытание, состоящее в случайном размещении точки в прямоугольнике заданного размера. Наступлению события A соответствует попадание точки в соответствующую область. Графическое изображение такого испытания носит название диаграммы Венна. Для определения вероятности наступления события A необходимо площадь фигуры А поделить на площадь всего многоугольника .
53 слайд
3. Операции над событиями. Расчет вероятности произведения и суммы событий.
54 слайд
Известные вероятности относительно простых событий можно использовать при расчете вероятностей более сложных событий, полученных путем применения определенных операций к исходным событиям.
Такими операциями являются умножение, сложение, отрицание и т.д.
55 слайд
Произведение событий AB
56 слайд
Вероятность произведения событий
57 слайд
Вероятность произведения независимых событий (не влияющих друг на друга).
58 слайд
Невозможные и достоверные события.
Вероятность невозможного события всегда 0, вероятность достоверного события всегда 1.
Если одно из событий A и B является достоверным (или невозможным), события независимы.
59 слайд
Являются ли зависимыми события В и А ?
60 слайд
Сумма событий A+В
61 слайд
Вероятность суммы событий
62 слайд
Вероятность суммы несовместных событий.
Несовместные события - те, что не могут наступить одновременно в результате испытания. В этом случае их произведение является невозможным событием. На рисунке б) события A и B несовместны, AB – невозможное событие: AB = , поэтому P (AB)=P ()=0 и
Несовместные возможные события зависимы
63 слайд
Противоположные события.
Примером противоположных событий могут служить невозможное и достоверное событие.
64 слайд
Противоположные события всегда образуют полную группу событий.
Вероятность противоположного события
65 слайд
66 слайд
Формула полной вероятности
67 слайд
Формула Байеса
68 слайд
4. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.
69 слайд
Формула Бернулли
70 слайд
Биномиальное распределение.
71 слайд
Математическое ожидание и дисперсия для случайной величины X, распределенной по биномиальному закону.
72 слайд
Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин.
При вычислении характеристик биномиального распределения мы использовали свойства дисперсии и математического ожидания случайных величин, полученных в результате суммирования.
73 слайд
74 слайд
.
75 слайд
5. Нормальное распределение непрерывной случайной величины.
76 слайд
.
77 слайд
Нормированное нормальное распределение
78 слайд
В случае, если распределение случайной величины подчиняется нормальному закону с параметрами M(X)=a0, 1, вероятность попасть на заданный интервал вычисляется по формуле:
P(x1 x x2)=((x2- a)/)- ((x1- a)/),
где
x
(x)= 1/(2)0.5e-t2/2dt
0
- функция Лапласа.
79 слайд
Правило «трех сигм».
80 слайд
Таблица вероятностей для отклонений в 1, 2 и 3 .
81 слайд
Центральная предельная теорема
Таким образом, если величина Y является суммой достаточно большого числа независимых случайных величин X , имеющих одинаковый закон распределения, ее можно считать распределенной нормально с математическим ожиданием M(Y)=nM(X) и дисперсией D(Y)= nD(X), где n- число величин X.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 661 168 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Горбунова Татьяна Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.