Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Урок 6
Трехгранный угол
2 слайд
Теорема.
В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360
и сумма любых двух из них больше третьего.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Основное свойство трехгранного угла.
Доказать:
+ + < 360;
2) + > ; + > ; + > .
3 слайд
Доказательство
I. Пусть < 90; < 90; (ABC)с.
Тогда ОВС = 90 – < ОВА
(следствие из формулы трех косинусов).
Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ.
Следовательно,
= 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 – ) + (90 – )) = + .
Если < 90, то остальные два неравенства пункта 2)
доказываются аналогично,
а если 90, то они – очевидны.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Доказать:
2) + > ; + > ; + > .
4 слайд
Формула трех косинусов
.
Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и
плоскостью применима формула:
2) Угол между прямой и плоскостью –
наименьший из углов, которая эта прямая,
образует с прямыми этой плоскости.
5 слайд
II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’
так, что |OA’| = |OB’| = |OC’|
Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ –
равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые.
Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим
неравенства, доказанные в пункте I:
С’А’B’ < 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5.
Сложим эти неравенства почленно,
тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) =
= (180 – ) + (180 – ) + (180 – ) + + < 360.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Доказать:
+ + < 360;
2) + > ; + > ; + > .
6 слайд
III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с
и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство,
доказанное в пункте II для произвольного трехгранного
угла:
(180 – ) + (180 – ) + < 360 + > .
Аналогично доказываются и два остальных неравенства.
Дано: Оabc – трехгранный угол;
(b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = .
Доказать:
+ + < 360;
2) + > ; + > ; + > .
с’
7 слайд
Следствие.
В правильной треугольной пирамиде плоский угол
при вершине меньше 120.
8 слайд
Определение.
Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы.
Признаки равенства трехгранных углов.
Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны:
два плоских угла и двугранный угол между ними;
2) два двугранных угла и плоский угол между ними;
3) три плоских угла;
4) три двугранных угла.
9 слайд
.
.
Дан трехгранный угол Оabc.
Пусть < 90; < 90; тогда рассмотрим (ABC)с
По теореме косинусов из CАВ:
|AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC||BC|cos
Аналог теоремы косинусов
Аналогично, из OАВ:
|AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO||BO|cos.
Вычтем из второго равенства первое и учтем, что
|AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2:
2|CO|2 – 2|AO||BO|cos + 2|AC||BC| = 0
.
;
;
;
тогда cos = coscos + sinsincos
Заменим:
10 слайд
II. Пусть > 90; > 90,
тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с,
и соответствующий трехгранный угол Оаbс’,
в котором плоские углы – и – – острые,
а плоский угол и двугранный угол – те же самые.
По I.: cos = cos( – )cos( – ) + sin( – )sin( – )cos
cos = coscos + sinsincos
11 слайд
III. Пусть < 90; > 90,
тогда рассмотрим луч a’,
дополнительный к a,
и соответствующий трехгранный угол Оа’bс, в котором
плоские углы и – – острые,
третий плоский угол – ( – ),
а противолежащий ему двугранный угол – ( – )
По I.: cos( – ) = coscos( – ) + sinsin( – )cos( – )
cos = coscos + sinsincos
a’
12 слайд
IV. Пусть = 90; = 90, тогда =
и равенство, очевидно, выполняется.
Если же только один из этих углов,
например, = 90,
то доказанная формула имеет вид:
cos = sincos
cos = cos(90 – )cos
Следствие. Если
= 90, то cos = coscos –
аналог теоремы Пифагора!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 661 619 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Корчагина Вера Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.