Инфоурок Другое ПрезентацииЗадачи, приводящие к понятию производной

Задачи, приводящие к понятию производной

Скачать материал
Скачать материал "Задачи, приводящие к понятию производной"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Техник-конструктор

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Задачи, приводящие к понятию производной.XY12345678910123456789100

    1 слайд

    Задачи, приводящие к понятию производной.
    X
    Y
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    0

  • В начале было слово.К понятию производной можно прийти, рассматривая, наприме...

    2 слайд

    В начале было слово.
    К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.
    Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

  • Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость?  Что это...

    3 слайд

    Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое?



    Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

  • А как Вы представляете себе мгновенную скорость?




  Так и представляю… Е...

    4 слайд

    А как Вы представляете себе мгновенную скорость?




    Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной

  • Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не бол...

    5 слайд

    Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».

    Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.
    Итак, проблема поставлена.
    Приступим к её решению.

  • Остановись мгновенье – 
                                  мы тебя исследуем !...

    6 слайд

    Остановись мгновенье –
    мы тебя исследуем !
    Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему ?
    Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.
    Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

  • Производная    Центральные понятия дифференциального исчисления – производная...

    7 слайд

    Производная
    Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.
    Рассмотрим подробно каждую из них.

  • Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения...

    8 слайд

    Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

  • Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h...

    9 слайд

    Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).
    Если промежуток времени h очень мал, то приближённо
    s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём

    последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h.
    Сказанное записывают в виде

  • Задача о мгновенной скоростиПредел средней скорости за промежуток времени от...

    10 слайд

    Задача о мгновенной скорости
    Предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0, называется мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0

    v(t0) =

  • А л г о р и т м 
∆t = t – t0                                 ∆x = x – x0
∆v =...

    11 слайд

    А л г о р и т м

    ∆t = t – t0 ∆x = x – x0
    ∆v = v(t+t0) - v(t0) ∆f = f(x+x0) – f(x0)
    .
    .

    На языке предмета На математическом языке

  • Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах про...

    12 слайд

    Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).

  • Задача о касательной к графику функцииy = f(x)xyx0М0(х0 ,у0)βАВxМ(х ,у)С∆х=х...

    13 слайд

    Задача о касательной к графику функции
    y = f(x)
    x
    y
    x0
    М0(х0 ,у0)
    β
    А

    В
    x
    М(х ,у)
    С
    ∆х=х-х0
    ∆f(x) = f(x) - f(x0)
    tgβ =
    При х→х0

  • А л г о р и т м1)       ∆x = x – x0
2)         ∆f = f(x+x0) – f(x0)
3)

4)

    14 слайд

    А л г о р и т м
    1) ∆x = x – x0
    2) ∆f = f(x+x0) – f(x0)
    3)

    4)

  • y=f(x)   M0MT     x0                                      x0+∆x...

    15 слайд

    y=f(x)
    M0
    M
    T
    x0 x0+∆x
    ∆x
    ∆y
    y
    x
    0
    Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле

  • Задача о скорости химической реакцииСредняя скорость растворения соли в воде...

    16 слайд

    Задача о скорости химической реакции
    Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

    Скорость растворения в данный момент времени

  • А л г о р и т м 
∆t = t – t0                                 ∆x = x – x0
∆f =...

    17 слайд

    А л г о р и т м

    ∆t = t – t0 ∆x = x – x0
    ∆f = f(t1) - f(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
    .
    .

    На языке предмета На математическом языке

  • Задача о теплоёмкости тела Если температура тела с массой в 1 кг повышается о...

    18 слайд

    Задача о теплоёмкости тела
    Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0
    до t2 = τ, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры τ, до которой тело нагревается: Q=Q(τ).
    Пусть температура повысилась с τ до τ +Δτ. Количество тепла ΔQ, затраченное для этого нагревания равно: ΔQ=Q(τ+Δτ)-Q(τ).
    Отношение есть количество тепла,
    которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры τ.
    Теплоёмкостью при температуре τ называ-ется предел отношения приращения количества тепла ΔQ к приращению температуры Δτ.( при Δτ →0)

  • ∆τ = τ – τ0                                 ∆x = x – x0
∆Q = Q(τ1) - Q(τ0)...

    19 слайд


    ∆τ = τ – τ0 ∆x = x – x0
    ∆Q = Q(τ1) - Q(τ0) ∆f = f(x) – f(x0)
    .
    .

    А л г о р и т м
    На языке предмета На математическом языке

  • Задача о мгновенной величине токаОбозначим через q = q(t) количество электрич...

    20 слайд

    Задача о мгновенной величине тока
    Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t.
    Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока.
    Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.

  • ∆t = t – t0                                 ∆x = x – x0
∆q = q(t1) - q(t0)...

    21 слайд


    ∆t = t – t0 ∆x = x – x0
    ∆q = q(t1) - q(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
    .
    .

    А л г о р и т м
    На языке предмета На математическом языке

  • Экономические задачиРассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а...

    22 слайд

    Экономические задачи
    Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства.

    В этом случае производная выражает предельные

    издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной

    единицы продукции ,где MC – предельные

    издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.C(t)СС

  • Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические велич...

    23 слайд

    Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

    Другой пример - категория предельной выручки
    (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
    Она представляет собой первую производную от выручки:


    При этом R= PQ,где R–выручка (revenue); P–цена (price).

    Таким образом ,  MR= P.
    Экономические задачи

  • Экономические задачиПусть функция u(t) выражает количество произведенной прод...

    24 слайд

    Экономические задачи
    Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0.
    За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+ u = u(t0+ t). Тогда средняя
    производительность труда за этот период
    поэтому производительность труда в момент t0

  • Рост численности населенияВывести формулу для вычисления численности населени...

    25 слайд

    Рост численности населения
    Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.
    Пусть у=у(t)- численность населения.
    Рассмотрим прирост населения за t = t - t0
    y=k ∙ y ∙ t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости,
    кс – коэффициент смертности)

    получим

  • ВыводыРазличные задачи привели в процессе решения к одной и той же математиче...

    26 слайд

    Выводы
    Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:
    Присвоить ей новый термин.
    Ввести для неё обозначение.
    Исследовать свойства новой модели.
    Определить возможности применения нового понятия - производная

  • Определение производнойПроизводной функции  f(x) в точке х называется предел...

    27 слайд

    Определение производной
    Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

  • Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:
а) мгновенн...

    28 слайд

    Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:
    а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;
    б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0;
    в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;
    г) теплоёмкость С(τ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q(τ), получаемого телом;
    д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

  • А это значит:Аппарат производной можно использовать при решении геометрически...

    29 слайд

    А это значит:
    Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера.
    И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

    У нас впереди огромные возможности для исследовательской работы в новых проектах!
    «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

  • Автор:Студентка группы
        БУХ-110

Нестерова Ирина....

    30 слайд

    Автор:
    Студентка группы
    БУХ-110

    Нестерова Ирина.



Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 375 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 05.01.2020 395
    • PPTX 1.4 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Пахомова Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 3 года и 3 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 109638
    • Всего материалов: 236

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Интернет-маркетолог

Интернет-маркетолог

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Педагог-библиотекарь

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 458 человек из 66 регионов

Курс повышения квалификации

Специалист в области охраны труда

72/180 ч.

от 1750 руб. от 1050 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 40 человек из 19 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Руководство электронной службой архивов, библиотек и информационно-библиотечных центров

Начальник отдела (заведующий отделом) архива

600 ч.

9840 руб. 5900 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы инженерной подготовки

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Интеллектуальная собственность: медиа и фотографии

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психология детства и подросткового возраста

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 61 человек из 37 регионов