Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Задачи, приводящие к понятию производной.
X
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
2 слайд
В начале было слово.
К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.
Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.
3 слайд
Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое?
Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)
4 слайд
А как Вы представляете себе мгновенную скорость?
Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной
5 слайд
Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».
Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.
Итак, проблема поставлена.
Приступим к её решению.
6 слайд
Остановись мгновенье –
мы тебя исследуем !
Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему ?
Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.
Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.
7 слайд
Производная
Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.
Рассмотрим подробно каждую из них.
8 слайд
Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?
9 слайд
Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).
Если промежуток времени h очень мал, то приближённо
s(t+h)-s(t)≈v(t)∙h, или , причём
последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h.
Сказанное записывают в виде
10 слайд
Задача о мгновенной скорости
Предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0, называется мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0
v(t0) =
11 слайд
А л г о р и т м
∆t = t – t0 ∆x = x – x0
∆v = v(t+t0) - v(t0) ∆f = f(x+x0) – f(x0)
.
.
На языке предмета На математическом языке
12 слайд
Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).
13 слайд
Задача о касательной к графику функции
y = f(x)
x
y
x0
М0(х0 ,у0)
β
А
В
x
М(х ,у)
С
∆х=х-х0
∆f(x) = f(x) - f(x0)
tgβ =
При х→х0
14 слайд
А л г о р и т м
1) ∆x = x – x0
2) ∆f = f(x+x0) – f(x0)
3)
4)
15 слайд
y=f(x)
M0
M
T
x0 x0+∆x
∆x
∆y
y
x
0
Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле
16 слайд
Задача о скорости химической реакции
Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .
Скорость растворения в данный момент времени
17 слайд
А л г о р и т м
∆t = t – t0 ∆x = x – x0
∆f = f(t1) - f(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.
На языке предмета На математическом языке
18 слайд
Задача о теплоёмкости тела
Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0
до t2 = τ, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры τ, до которой тело нагревается: Q=Q(τ).
Пусть температура повысилась с τ до τ +Δτ. Количество тепла ΔQ, затраченное для этого нагревания равно: ΔQ=Q(τ+Δτ)-Q(τ).
Отношение есть количество тепла,
которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры τ.
Теплоёмкостью при температуре τ называ-ется предел отношения приращения количества тепла ΔQ к приращению температуры Δτ.( при Δτ →0)
19 слайд
∆τ = τ – τ0 ∆x = x – x0
∆Q = Q(τ1) - Q(τ0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.
А л г о р и т м
На языке предмета На математическом языке
20 слайд
Задача о мгновенной величине тока
Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t.
Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока.
Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt→0.
21 слайд
∆t = t – t0 ∆x = x – x0
∆q = q(t1) - q(t0) ∆f = f(x) – f(x0)
.
.
А л г о р и т м
На языке предмета На математическом языке
22 слайд
Экономические задачи
Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства.
В этом случае производная выражает предельные
издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной
единицы продукции ,где MC – предельные
издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.C(t)СС
23 слайд
Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.
Другой пример - категория предельной выручки
(MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки:
При этом R= PQ,где R–выручка (revenue); P–цена (price).
Таким образом , MR= P.
Экономические задачи
24 слайд
Экономические задачи
Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0.
За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+ u = u(t0+ t). Тогда средняя
производительность труда за этот период
поэтому производительность труда в момент t0
25 слайд
Рост численности населения
Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.
Пусть у=у(t)- численность населения.
Рассмотрим прирост населения за t = t - t0
y=k ∙ y ∙ t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости,
кс – коэффициент смертности)
получим
26 слайд
Выводы
Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:
Присвоить ей новый термин.
Ввести для неё обозначение.
Исследовать свойства новой модели.
Определить возможности применения нового понятия - производная
27 слайд
Определение производной
Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует
28 слайд
Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:
а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;
б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0;
в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;
г) теплоёмкость С(τ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q(τ), получаемого телом;
д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.
29 слайд
А это значит:
Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера.
И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств
У нас впереди огромные возможности для исследовательской работы в новых проектах!
«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский
30 слайд
Автор:
Студентка группы
БУХ-110
Нестерова Ирина.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 625 375 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Пахомова Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.